文档介绍：亚纯函数的无穷级数展开
我们知道,如果ƒ在的邻域内全纯,则ƒ在的邻域内可展成Taylor级数;如果z。是ƒ(z)的一孤立奇点,它可以在z。的去心邻域展成Laurent级数。
亚纯函数是一类非常重要函数,由于它的奇点为极点,我们从Laurent级数的展开式中得到启发,可否将亚纯函数按其奇点的分布情况展开成无穷级数,答案是肯定的。这样亚纯函数的研究又有了一种工具,下面我们来研究这理论。
设为区域D内的亚纯函数,它可以表为两个全纯函数之比,即
.
其中是D内的全纯函数,且的零点是的极点,设想可分解因式如下
由此我们对上式施以对数运算,再施以微分运算,就将展开成如下的形式,
(其中为与极点的级有关的正整数)
即我们依的极点展开成一分式型级数有关的理论我们不进行深入讨论
。下面我们以亚纯函数tgz与ctgz为例说明这种展开方法。由于tgz=ctg(-z),所以我们只研究ctgz的展开方法即可。
我们先研究用微积分学有关理论来展开ctgz。这种方法的技巧性很强,它需要先把在实数域内展成无穷乘积,这样会减少在复数域内的许多繁杂的讨论。
因为
展开左边取实部得
…(1)
若是奇数,用公式置换(1)中余弦函数的偶次幂后,得
(2)
其中为一个n次幂整多项式。
如果用表这多项式的根,则此多项式可以用如下方法分解因式
从(2)容易定出根,如果使,但,则就一定是的根。介于0与之间,且为递增序列,从而
是的n个相异根。而系数可作为当时的极限来确定,从而我们得到

设,上式化为
(3)
,并设现在把表为下面乘积的形状:
(4)
其中
固定k,有
故
由于(3), 存在,且

下面确定。
普通微分学中有不等式

成立。所以
并且

于是(5)
取滿足,因为级数收敛,故无穷乘积收敛。因此余乘积

。如果使
.
我们只加强了不等式(5),在固定k下令得

由此得到
最后得到正弦函数的无穷乘积Euler展开式
(6)
前面讨论中,我们将除外,实际上(6)式对这些值也成立,并且这恰好是正弦函数的全部零点,而(6)也正好是它的“因式分解”。很显然,(6)式中的t取一切实数。
下面我们设
(7)
可见(7)式就是(6)式的解析开拓,由解析函数的唯一性知
(8)
如果,我们对(8)式取对数得

逐项微分就得
(9)
以上运算的合理性我们就不去验证了,只是对(9)右边的无穷级数的一致收敛性要在的情形下验证,这可以利用Weierstrass判别法得到结果。(9)式还可以写作
(10)
这就是我们需要的结果。如果注意到

分析上面的求解过程可以看出,亚纯函数的展开式是从实数域开拓到复数域得到的。是否可以从复数或中直接得到?下面我们来讨论这个问题。设
它的奇点为,即的零点为它的极点,又

即它的所有极点都是一级的,从而在的Laurent展开式的主要部分为
(12)
根椐(10)及(12)得到启示,我们考虑下面复积分
(13)
为: 这样的圆周正向, 为正整数。这就使个奇点全在内部。由(13)知,被积函数在内有一级极点外,还有奇点点,是内异于的任一点,且

利