文档介绍：西北大学学报(自然科学网络版) 2005 年 9 月,第 3 卷,第 8 期
Science Journal of Northwest University Online Sep. 2005,Vol . 3,
关于无平方因子数和因子积函数的一个性质
王永兴,杨倩丽
(渭南师范学院数学系,陕西渭南 714000)
摘要:研究了因子积函数作用在平方因子数上的算术性质。将所研究的问题转化为素因数个数
函数的均方值问题,从而给出一个有趣的渐近公式。
关键词:无平方因子数;因子积函数;渐近公式
中图分类号: 文献标识码:A 文章编号:1000-274X(2005)0165-05
对于自然数 n ,如果存在素数 p | n 但 p 2 † n ,则称 n 为无平方因子数。本文中令 S 表示所有无平方
因子数的集合。因子积函数 Pd (n) 指 n 的所有真因子的乘积。本文目的是利用解析方法研究因子积函数
Pd (n) 作用在无平方因子数上的算术性质,给出一个渐近公式,即证明了下面的:
定理 1 设σ(n) = ∑1为除数函数。则对任意的实数 x ≥ 1有渐近公式
d|n
6ln2
2 。
∑ln(σ(Pnd ( )))=+2 x (ln ln x ) Ox ( ln ln x )
nx≤π
nS∈
1 几个引理
为了完成定理的证明,先给出如下的几个引理:
引理 1 对任意实数 x ≥ 2 ,我们有
⎛⎞x
∑ω()nx=++ lnln xAxO⎜⎟
nx≤⎝⎠ln x
∑ω 22()nx=+ (lnln) x Oxx (lnln)
nx≤
其中
⎛⎞⎛⎞11
A =+γ∑⎜⎟ln⎜⎟ 1 −+
p ⎝⎠⎝⎠p p
证明请参阅文献[1]。
引理 2 设µ(n) 为 M öbius 函数,则对任意实数 s >1,有恒等式
∞µω()nn () 1 1

∑∑ss=−
np=1 nspζ()− 1
证明由ω(n) 的定义有
_______________________
收稿日期:2004-11-12
基金项目:陕西省教育厅资助项目(05JK189);渭南师范学院资助项目(04YKS014)
审稿人:张文鹏,男,西北大学数学系教授,博士生导师。
∞∞µω()nn ()µ()n 1 ∞µ ( np ) 1 ∞µ () n
==∑ pn| =−=
∑∑ss ∑∑∑∑ ssss
nn==12nn pnpn (1)1 = nppn =
(,np )1== (, np )1
−1
1()1⎛⎞∞µ n ⎛⎞ 11
−−=−1
∑∑ss⎜⎟⎜⎟ s ∑ s
pnpn⎝⎠=1 ⎝⎠ pζ() sp p− 1
于是证明了引理 2。
引理 3 对整数 k ≥ 2 及任意实数 x ≥ 2 ,有
∑ωω(d) (mCxxOx ) µ (d)=+ ln ln ( )
dmk ≤ x
11
其中 C =−
∑ k
ζ()kpp − 1
证明应用引理 1 及引理 2 可得
∑∑∑ωω()()()dmd µ== ωµ ()() dd ω(