文档介绍：矩阵理论-第九讲
兰州大学信息科学与工程学院
2004年
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上节内容回顾
矩阵的条件数
定义矩阵条件数的工程背景
矩阵的奇异值
矩阵序列
矩阵序列收敛的充分必要条件
收敛矩阵

矩阵级数
矩阵级数的绝对收敛的充要条件
绝对收敛收敛
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矩阵的幂级数
矩阵幂级数
设, ,称矩阵级数
为矩阵A的幂级数
方阵幂级数收敛的判别定理
若复变数幂级数的收敛半径为r,而矩阵的谱半径为,则
当时,方阵幂级数绝对收敛
当时,方阵幂级数发散
证明:
1. ,取
,使得
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矩阵的幂级数
由于幂级数
收敛,根据正项级数的比较审敛法知矩阵幂级数
绝对收敛
2. 由于,设,则
当时,
由Jordan定理, ,使得
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矩阵的幂级数
矩阵幂级数
的对角线元素为
由于发散,从而矩阵幂级数发散
由于矩阵幂级数
与
具有相同的敛散性,可知
也发散。
推论
设幂级数的收敛半径为r, 。若
使得,则矩阵幂级数绝对收敛
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矩阵的幂级数
举例
判断矩阵幂级数
的敛散性
解:令
>> eig(A)
ans =

-
由于幂级数的收敛半径为r = 1
绝对收敛
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矩阵的幂级数
Neumann级数收敛充要条件
设,称矩阵幂级数为Neumann级数
收敛
并且在此级数收敛时,其和为
证明:
充分性:
幂级数的收敛半径为1
必要性:若矩阵幂级数
收敛,记
, ,则
收敛
收敛矩阵的充要条件
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矩阵的幂级数
当收敛时,
取
可逆
由于
A是收敛矩阵
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矩阵的幂级数
举例
设
判断矩阵幂级数的敛散性,若收敛,求其和
解:norm(A,1)
ans =
即,所以绝对收敛
inv(eye(size(A))-A)
ans =

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矩阵函数
定义:
矩阵函数的定义基于收敛的矩阵幂级数。
收敛于一个唯一的矩阵,即此矩阵幂级数的和S。这样,矩阵幂级数在矩阵与之间建立了一个映射:
称此映射为矩阵函数,它是以矩阵为变量(更为确切地,以方阵为变量)且取值为矩阵(方阵)的一类函数。
称S为A在映射f下的象,记作:
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