文档介绍：矩阵理论-第三讲
兰州大学信息科学与工程学院
2004年
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上节内容回顾
方阵相似的定义
相似矩阵的性质
自反性
对称性
传递性
保秩性
行列式相等
矩阵函数相似
特征多项式、特征值相同
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上节内容回顾(Continue)
方阵可对角化的定义
方阵可对角化的充要条件
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上节内容回顾(Continue)
可对角化方阵的对角化方法
由的基
构成的矩阵
可使
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上节内容回顾(Continue)
定义
Jordan块
Jordan矩阵
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Jordan标准形(Continue)
化方阵A为Jordan标准形
特征向量法
设
如果是A的单重特征值在A的Jordan矩阵中构造一个1阶的Jordan块
如果是A的重特征值
有k个线性无关的特征向量
或者
此方法适用于以下能唯一确定Jordan块的特殊情形:
: 个1阶的约当块,实际上是一个对角块
在A的Jordan矩阵中构造k个以为对角元素的Jordan块
k个Jordan块的阶数之和等于
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Jordan标准形(Continue)
特征向量法求矩阵的Jordan标准形举例(1)
在A的Jordan矩阵中构造1个以 1为对角元素的Jordan块
此Jordan块的阶数等于2
单重根:
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Jordan标准形(Continue)
特征向量法求矩阵的Jordan标准形举例(2)
在A的Jordan矩阵中构造2个以 2为对角元素的Jordan块
此Jordan块的阶数等于3
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Jordan标准形(Continue)
初等变换法
多项式矩阵( λ矩阵)
元素都是变数λ的复系数多项式,称为多项式矩阵或λ-矩阵
多项式矩阵的初等变换和秩的定义与常数矩阵类似
多项式矩阵等价的定义也与常数矩阵类似
由经有限次初等变换得到
矩阵多项式
对,定义
为矩阵A的多项式
非零子式的最高阶数
不恒等于零的子式的最高阶数
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Jordan标准形(Continue)
多项式矩阵的Smith标准型
可通过有限次初等变换化为
其中都是首一多项式,且
:多项式整除
由唯一确定,称之为的Smith标准形
等价的多项式矩阵具有相同的Smith标准形
方阵的特征矩阵是一个特殊的多项式矩阵
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