文档介绍：第13章方程求根
对于常见的方程可用已知的方法求解,例: x2-7x-8=0可用求根公式求解;x3-2x-4=0可用提取公因式求解;但对于如下的方程则无法求解:
X3-2x+4=0
sinx-x+1=0
ex+2x-9=0
一、方程求根的几何意义:
求方程x2-4=0的根,即求函数f(x)=x2-4与x轴(y=0)交点的横坐标值。判断有根区间:设方程f(x)=0在区间[a,b]内有唯一的根,则区间[a,b]称为f(x)=0的有根区间。设函数f(x)在区间[a,b]内连续,严格单调,且满足f(a)f(b)<0,根据连续函数的性质,f(x)必定与x轴在区间[a,b]内有交点,故方程f(x)=0在区间[a,b]内一定有实根(至少有一个根)。方程f(x)=0的根记作x*。
二、二分法
:设函数f(x)在[a,b]上连续,且f(a)<0、f(b)>0,根椐连续函数的性质,方程f(x)=0在区间(a,b)内一定有实根。用二分有根区间的方法(用区间[a,b]的中点1/2(a+b)平分区间),得到有根区间序列[an,bn]即[a,b] É [a1,b1] É [a2,b2] É…É [an,bn] É…,重复以上步骤可进一步缩小区间,每一次都使区间缩小了一半,最终趋近于真实根。
x*»xn=
有误差估计式:½x*-xn½£,(n=0,1,2,…)
对于给定误差限ε,½x*-xn½££ε,有:
二分有根区间次数公式:£ε
用这种二分有根区间求方程近似根的方法,称为二分法或称对分法。
例1:证明方程1-x-sinx=0在区间[0,1]内有一个根,×10-4的根要迭代多少次?
证明:令f(x)=1-x-sinx,
f(0)=1>0,f(1)=-sin1<0
f(x)=1-x-sinx=0在[0,1]
f ,(x)=1-cosx>0(x∈[]),故f(x)=0在区间[0,1]内有唯一实根。
给定误差限=×10-4,有:
:
1〉.判断有根区间[a,b],f(a)f(b)<0;
2〉.由所给的精度要求确定二分的次数;
3〉.在区间[a,b]上取中点(a+b)/2,可将区间分为两个区间,再判断根所在的区间,得到新的有根区间[an,bn](一般列成表格形式);
4〉依次进行二分,最后使xn=(an+bn)/2接近真实根。
例2:用二分法求方程f(x)==0在区间[,2]内的实根的近似值,
, 计算过程保留5位小数。
解:由题可得:e =,a =,b=2.
由二分次数公式:
,故取n = 5
a0= b0=2 x0= f(x0)>0
a1= b1=2 x1= f(x1)>0
a2= b2=2 x2= f(x2)<0
a3= b3= x3= 65 f(x3)>0
a4= 65 b4= 5 x4= 88 f(x4)>0
a5= 88 b5= 5 x5= 69 f(x5)>0
二分法的优点:计算简便、容易估计误差,但收敛较慢。
三、迭代法