第6章 变分法与边值问题.ppt

文档介绍：第6章变分法与边值问题
通过求解一个相应的泛函的极小函数而得到偏微分方程边值问题的解,这种理论和方法通常叫作偏微分方程中的变分原理,简称变分方法。本章通过求解一类边值问题和特征值问题简单介绍该方法的理论及其应用。
第6章变分法与边值问题
边值问题与算子方程
薄膜的横振动与最小位能原理
考虑张在平面有界区域上的均匀薄膜在垂直于平面的外力作用下的
微小横振动,薄膜的边缘固定在上。利用微元分析法可得薄膜的总位能为
其中,T 表示张力,F(x,y) 表示外力面密度,u(x,y) 表示薄膜在点(x,y) 出垂直于平面方向的位移。
由于薄膜边缘固定, 故可见, () 是定义在容许函数类
上的泛函。
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,可知泛函()的极小函数就是Poisson方程Dirichlet问题

的解;反之边值问题()的解 u 也是泛函()的极小函数,即

于是,我们可以用变分方法得到边值问题(), 为了保证极小函数的存在性,.
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正算子与算子方程
我们称满足等式(Au,v)=(Av,u) 的算子 A 为对称算子。
设 A 是定义在 Hilbert 空间 H 的某一线性稠密子集上的线性算子,若对中的任意元素 u,有且等号成立当且仅当 u=0, 则称 A 是正算子。
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应用

取 Hilbet 空间为
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可以验证,它们各自对应的算子是正算子。对应于以上三种问题算子的定义域分别为
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正定算子弱解存在性
设 A 是上的线性算子,若存在常数对任意有
则称算子 A 是上的正算子。
在上引入新内积
由此内积诱导的新范数记为
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Laplace 算子的特征值问题
本节考虑如下的Laplace 算子特征值问题: