文档介绍：第三章线性方程组
在第一、二章中,我们曾经以行列式和逆阵为工具解决了一类线性方程组的求解问题。本章将系统地解决一般线性方程组的求解问题。所用的工具是克莱姆法则、初等变换、向量等。
§1 消元法
中学代数已介绍过二元、三元线性方程组的消元法——高斯消元法。下面再作三例,以求其规律。
例1 解线性方程组(1)
解:交换第一、二两个方程,
得同解组
(2)-2 ,(3)-4
得同解组
[()-(2,)](-2)
得同解组(2)
至此消元过程完结,接下来是回代过程:
将代入得=-2,再将=-2,=2代入得=-1,
从而(2)有唯一解:x1=-1,x2=-2,x3=2,也是(1)的唯一解
例2 求解线性方程组
解: (2)-2(1),(3)-3(1) 得同解组
7, 5 得同解组
得
其解为z=1,y=t(任意),x=4-3t,所以方程组有无穷多解。
例3 求解线性方程组
解:同例2,得同解组: 矛盾,无解
以上三例,求解过程中,对方程组共施行了三种变换:
互换两个方程的位置;
k某一方程(k≠0);
用一个数k乘某一方程后加到另一个方程上去。
——称为方程组的初等变换,与矩阵的初等行变换完全相同。所以线性方程的求解完全可以由其增广矩阵的行初等变换求出。
例4 求解线性方程组:
(3)
解:先写出其增广矩阵并施以行的初等变换,化为上阶梯形
(系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等)
再写出最后一个矩阵所对应的方程组便得到(3)的同解方程组:
自下而上回代,解出用x5表达x1,x2,x3,x4的结果:
(可任意,称为自由未知量)
所以(3)有无穷多解。
一般地,我们得到下述关于线性方程组有解的判别定理:
定理1 线性方程组
有解的充要条件是它的系数矩阵A与增广矩阵B的秩相等,即R(A)=R(B)。
其中A=,B==
证:利用初等行变换把增广矩阵化为上阶梯形
B= D==
(不妨设c11,c22 …crr不为零)
相应地,方程组(4)就化为与它同解的阶梯形方程组
(5)
由于初等行变换不改变矩阵的秩,所以R(A)=R(C),R(B)=R(D)。
(ⅰ)必要性若方程组(4)有解,则方程组(5)也有解,故dr+1=0,
这时R(D)=R(C),从而R(A)=R(B)。
(ⅱ)充分性若R(A)=R(B),于是R(C)=R(D)因而dr+1=0,所以方程组(5)有解,从而方程组(4)有解。证毕
定理2 若方程组(4)的系数矩阵A和增广矩阵B的秩相等,且等于r,
R(A)=R(B)=r,则
(ⅰ)当r=n时,(4)有唯一解;
(ⅱ)当r<n时,(4)有无穷多解。