文档介绍：第九章定积分
教学要求:
1知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等,以及解决这些实际问题的数学思想方法;深刻理解并掌握定积分的思想:分割、近似求和、取极限,进而会利用定义解决问题;
,能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分;
、下和的性质,掌握可积的充要条件及可积函数类,能独立地证明可积性的问题;;
,并能解决计算问题.
教学重点:
,能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分;
,能独立地证明可积性的问题;
;
,并能解决计算问题.
教学时数:14学时
§ 1 定积分概念(2学时)
教学要求: 知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等,以及解决这些实际问题的数学思想方法;深刻理解并掌握定积分的思想:分割、近似求和、取极限,进而会利用定义解决问题;
教学重点:深刻理解并掌握定积分的思想.
一、问题背景:
1. 曲边梯形的面积:
2. 变力所作的功:
二、不积分的定义:
三、举例:
例1  .
解取等分区间作为分法, . 取.=
.
由函数在区间上可积,每个特殊积分和之极限均为该积分值.
例2  已知函数在区间上可积,用定义求积分.
解分法与介点集选法如例1 , 有
.
上式最后的极限求不出来, 但却表明该极限值就是积分.
例3  讨论Dirichlet函数在区间上的可积性.
四、小结:指出本讲要点
§ 2 Newton — Leibniz 公式(2学时)
教学要求: 深刻理解微积分基本定理的意义,能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分.
教学重点:能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分.
( N — L公式)( 证)
例1求ⅰ> ; ⅱ> ;
例2 求.
§3可积条件(4学时)
教学要求: 理解可积的必要条件以及上和、下和的性质,掌握可积的充要条件及可积函数类,能独立地证明可积性的问题.
教学重点:掌握可积的充要条件及可积函数类,能独立地证明可积性的问题;
一、必要条件:
Th , 在区间上有界.
二、充要条件:
:
思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于分法的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和, 即用极限的双逼原理考查积分和有极限, 且与分法及介点无关的条件.
方案: 定义上和和下和. 研究它们的性质和当时有相同极限的充要条件.
2. Darboux和: 以下总设函数在区间上有界. 并设,其中和分别是函数在区间上的下确界和上确界.
定义Darboux和, 指出Darboux和未必是积分和. 、和记相应于分法的上(大)和、下(小)(多值) . 但总有, 因此有. 和的几何意义.
3. Darboux和的性质: 本段研究Darboux和的性质, 目的是建立Darboux定理.
先用分点集定义分法和精细分法: 表示是的加细.
性质1 若, 则, . 即: 分法加细, 大和不增,小和不减. ( 证)
性质2 对任何, 有, . 即: 大和有下界,小和有上界. ( 证)
性质3 对任何和, 总有. 即: 小和不会超过大和.
证.
性质4 设是添加个新分点的加细. 则有
+ ,
.
证设是只在中第个区间内加上一个新分点所成的分法, 分别设
, , .
显然有和. 于是
.
添加个新分点可视为依次添加一个分点进行次. 即证得第二式. 
可类证第一式.
系设分法有个分点,则对任何分法,有
, .
证.
.
4. 上积分和下积分: 设函数在区间上有界. 由以上性质2 ,有上界, 有下界. 因此它们分别有上确界和下确界.
定义记, . 分别称和为函数在区间上的上积分和下积分.
对区间上的有界函数, 和存在且有限, . 并且对任何分法, 有. 上、下积分的几何意义.
例1 求和. 其中是Dirichlet函数.
5. Darboux定理:
Th 1 设函数在区间上有界,
= , = .
证( 只证第一式. 要证: 对使当时有
. 是显然的. 因此只证. )
, 对, 使<
设有个分点, 对任何分法, 由性质4的系,