文档介绍：第二十一章重积分
教学目的:,进而会计算二重积分;,掌握三重积分的计算方法,并能应用其解决有关的数学、物理方面的计算问题;。
教学重点难点:本章的重点是重积分的计算和格林公式;难点是化重积分为累次积分。
教学时数:22学时
§ 1 二重积分概念
一.        矩形域上的二重积分: 从曲顶柱体的体积引入. 用直线网分割.
定义二重积分.
例1            , 在每个正方形上取其右上顶点为介点.
解
.
二. 可积条件: D . 大和与小和.
Th 1 , .
Th 2 , .
Th 3 在D上连续, 在D上可积.
Th 4 设, 为上的可积函数.
D,
( 或 D ) . 若在D上有界, 且在D \ 上连续, 则在D上可积.
例2            P217ex2
三.  一般域上的二重积分:
1.      定义: 一般域上的二重积分.
2.      可求面积图形: 用特征函数定义.
四.     二重积分的性质:
性质1 .
性质2 关于函数可加性.
性质3 则在D上可积在和可积, 且.
性质4 关于函数单调性.
性质5 .
性质6 .
性质7 中值定理.
Th 若区域D 的边界是由有限条连续曲线( 或)组成, 在D上连续, 则在D上可积.
例3            去掉积分中的绝对值.
§ 2 二重积分的计算
二. 化二重积分为累次积分:
1.          矩形域上的二重积分:
用“体积为幂在势上的积分”推导公式.  
2. 简单域上的二重积分: 简推公式, 一般结果]P219Th9. 
例1 , .
解法一 P221例3
解法二为三角形, 三个顶点为,
.
例2 , . P221例2.
例3 求底半径为的两直交圆柱所围立体的体积. P222例4. 
§ 3 Green公式. 曲线积分与路径无关性
一.             Green公式:
闭区域的正面与边界正向的规定搭配: 右手螺旋定向, 即以右手拇指表示区域的正面( 理解为拇指“站立在”区域的正面上), 则其余四指( 弯曲)表示边界的正向. 右手螺旋定向法则还可表述为: 人站立在区域的正面的边界上, 让区域在人的左方. 则人前进的方向为边界的正向. 参阅P图21—10. 若以L记正向边界, 则用—L或L 表示反向(或称为负向)边界.  
1. Green公式:
若函数P和Q在闭区域D R 上连续, 且有连续的一阶偏导数, 则有
,
其中L为区域D的正向边界. ( 证) P224
Green公式又可记为.
1.          应用举例:  
对环路积分, 可直接应用Green公式. 对非闭路积分, 常采用附加上一条线使变成环路积分的技巧.
例1            计算积分, 其中A B . 曲线AB为圆周
在第一象限中的部分. P226例1
解法一( 直接计算积分) . 因此
.
解法二( 用Green公式) 补上线段BO和OA ( O为坐标原点), 成闭路. 设所围
 
区域为D, 注意到 D为反向, 以及, 有
.
例2            计算积分 I = , 其中L为任一不包含原点的闭区域D的边界(方向任意) P227例2
解. ( 和在D上有连续的偏导数).
, .
于是, I = .
二. 曲线积分与路线无关性:  
单连通域和复连通域. 
1. 积分与路径无关的等价条件: P228
设D R 是单连通闭区域. 若函数和在闭区域D内连续, 且有连续的一阶偏导数, 则以下四个条件等价:
ⅰ> 沿D内任一按段光滑的闭合曲线L, 有.
ⅱ> 对D内任一按段光滑的曲线L, 曲线积分与路径无关, 只与曲线L的起点和终点有关.
ⅲ> 是D内某一函数的全微分, 即在D内有.
ⅳ> 在D内每一点处有.
2. 恰当微分的原函数:
若有, 则称微分形式是一个恰当微分. 恰当微分有原函数,( 它的一个) 原函数为:
.
或
其中点 D, 当点 D时, 常取= .
验证第一式: =
;
.
例6 验证式是恰当微分, 并求其原函数. P231例4 
. § 4 二重积分的变量变换:(4时)
1. 二重积分的变量变换公式: 设变换的Jacobi , 则
,