文档介绍：第三讲线性变换及其矩阵
一、线性变换及其运算
定义:设V是数域K上的线性空间,T是V到自身的一个映射,使得对于V中的任意元素x均存在唯一的yV与之对应,则称T为V的一个变换或算子,记为
Tx=y
称y为x在变换T下的象,x为y的原象。
若变化T还满足
T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty) x,yV, k,lK
称T为线性变换。
[例1] 二维实向量空间,将其绕原点旋转角的操作就是一个线性变换。
[证明]

可见该操作T为变换,下面证明其为线性变换
,k,l

T是线性变换。
[例2] 次数不超过的全体实多项式构成实数域上的一个维的线性空间,其基可选为
,微分算子是上的一个线性变换。
[证明] 显然对而言是变换,
要证明满足线性变换的条件
,k,l

是上的线性变换。
2. 性质
线性变换把零元素仍变为零元素
负元素的象为原来元素的象的负元素
线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组
[证明] 线性变换T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty)
(1)T(0)=T(0x)=0(Tx)=0
(2)T(-x)=(-1)(Tx)=-(Tx)
(3)元素组线性相关,即存在一组不全为零的数使

则
线性相关。
[得证]
应该注意,线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的,变换后的情况与元素组和线性变换有关。若线性变换将所有的元素组仍变换为线性无关的元素组,则称之为满秩的线性变换,其变换矩阵为满秩矩阵。
3. 线性变换的运算
恒等变换:
零变换:
变换的相等:、是的两个线性变换,,均有,则称=
线性变换的和+:,
线性变换的数乘:,
负变换:
线性变换的乘积:,
逆变换:,若存在线性变换使得,则称为的逆变换=
线性变换的多项式:
,并规定

需要说明的是:
1)也称为单位变换,它的矩阵表示为单位矩阵;
2)对应的矩阵表示为零矩阵;
3)和矩阵的乘积一样,线性变换的乘积不满足交换律;
4)不是所有的变换都具有逆变换,只有满秩变换才有逆变换,;
5)恒等变换、零变换、线性变换的和、乘积多项式及逆变换(若存在)均为线性变换。
二、线性变换的矩阵表示
线性变换用矩阵表示,将抽象的线性变换转化为具体的矩阵形式。
设是线性空间的一个线性变换,且是的一个基,n,存在唯一的坐标表示
=

因此,要确定线性变换,只需确定基元素在该变换下的象就可以了。
对于任意元素,在该基下,变换后的坐标表示为

同时

对比可知:
=
即:
定义:把称为在基下的矩阵。
定理:设是的一个基