Ch 18 含参量广义积分.pdf

文档介绍：Ch 18 含参量广义积分
计划课时: 6 时
P 233—244
2005. 10 .29.


Ch 18 含参量广义积分(6 时)
§ 1 含参无穷积分
一. 含参无穷积分:
1. 含参无穷积分: 函数 yxf ),( 定义在[ , ×[] cba , + ∞) 上( [ , ba ] 可以是
+∞
无穷区间). 以= ),()( dyyxfxI 为例介绍含参无穷积分表示的函数 xI )( .
∫c
2. 含参无穷积分的一致收敛性:
逐点收敛( 或称点态收敛) 的定义: x ∈∀[ , ba ] , ∀ε> 0 , ∃> cM , 使
+∞
),( dyyxf < ε.
∫M
引出一致收敛问题.
定义( 一致收敛性) 设函数yxf ),( 定义在[ , ×[] cba , + ∞) 上. 若对
+∞
ε 0 , >∃>∀ cM , 使),( dyyxf < ε对∀x ∈[ , ba ] 成立, 则称含参无
∫M
+∞
穷积分),( dyyxf 在[ , ba ] ( 关于 x )一致收敛.
∫c
+∞
Th 1 ( Cauchy 收敛准则) 积分= ),()( dyyxfxI 在[ , ba ] 上一致收
∫c
A2
敛, ⇔ε 0 , 0 , ∀>∃>∀, AAM 21 M , ⇒> ),( dyyxf < ε对
∫A
1
x ∈∀[ , ba ] 成立.
+∞sin xy
例 1 证明含参量非正常积分∫ dy 在[ δ, + ∞) 上一致收敛, 其中δ> 0 .
0 y
但在区间( 0 , ∞+ ) 内非一致收敛
3. 含参无穷积分与函数项级数的关系:
+∞
Th 2 积分= ),()( dyyxfxI 在[ , ba ] 上一致收敛, ⇔对任一数列
∫c
∞∞
An+1
An }{ 1 = cA )( , An ↗∞+ , 函数项级数= n xudyyxf )(),( 在[ , ba ]
∑∫A ∑
n=11n n=
上一致收敛.
二. 含参无穷积分一致收敛判别法:
1. Weierstrass M 判别法: 设有函数 yg )( , 使在[ , ×[] cba , + ∞) 上有
+∞+∞
≤ ygyxf )(|),(| . 若积分)( dyyg ∞+< , 则积分),( dyyxf 在[ , ba ]
∫c ∫c
一致收敛.
∞+ cos xy
例 2 证明含参无穷积分 dx 在−∞< y < +∞内一致收敛.
∫0 1+ x 2
2. Dirichlet 判别法和 Abel 判别法:
三. 一致收敛积分的解析性质: 含参无穷积分的解析性质实指由其所表达
的函数的解析性质.
1. 连续性: 积分号下取极限定理.
Th 3 设函数 yxf ),( 在[ , ×[] cba , + ∞) 上连续. 若积分
+∞
= ),()( dyyxfxI 在[ , ba ] 上一致收敛, 则函数 xI )( 在[ , ba ] 上连续. ( 化
∫c
为级数进行证明或直接证明)
系在 Th 3 的条件下, 对 x0