Ch 5 微分学的基本定理及其应用.pdf

文档介绍：Ch 5 微分学的基本定理及其应用
计划课时: 16 学时
P174—235
.


§ 1 中值定理( 3时)
一、极值概念:
: 图解,定义( 区分一般极值和严格极值. )
:
Th ( Fermat ) ( 证)
函数的稳定点, 稳定点的求法.
二. 微分中值定理:
1. Rolle 中值定理: 叙述为 Th1. ( 证) 定理条件的充分但不必要性.
中值定理: 叙述为 Th2. ( 证) 图解.
用分析方法引进辅助函数, 证明定理. 也可用几何直观引进辅助函数.
Lagrange 中值定理的各种形式. 关于中值点的位置.
系 1 函数xf )( 在区间 I 上可导且′ xf ,0)( ⇒≡ xf )( 为 I 上的常值函数. (证)
系 2 函数xf )( 和xg )( 在区间 I 上可导且
′≡′),()( +=⇒ cxgxfxgxf ,)()( x ∈ I.

系 3 设函数xf )( 在点x0 的某右邻域∪+ x0 )( 上连续, 在∪+ x0 )( 内可导. 若
′= ′ xfxf + )0()(lim 存在, 则右导数′ xf )( 也存在, 且有′= ′ xfxf + ).0()( (证)
+ 0 + 0 + 0 0
→xx 0
但是, ′ xf 0 + )0( 不存在时, 却未必有+′ xf 0 )( 不存在. 例如对函数
⎧ 1
⎪x 2 sin , x ≠,0
xf )( = ⎨ x
⎩⎪,0 x = .0
虽然f ′+ )00( 不存在, 但xf )( 却在点x = 0 可导(可用定义求得 f ′= 0)0( ).

Th ( 导数极限定理) 设函数xf )( 在点x0 的某邻域∪ x0 )( 内连续, 在∪ x0 )( 内
可导. 若极限′ xf )(lim 存在, 则′ xf 0 )( 也存在, 且′ 0 = ′ xfxf ).(lim)( ( 证)
→xx 0 →xx 0
由该定理可见, 若函数xf )( 在区间 I 上可导, 则区间 I 上的每一点, 要么是导函数
′ xf )( 的连续点, 要么是′ xf )( 的第二类间断点. 这就是说, 当函数xf )( 在区间 I 上
点点可导时, 导函数′ xf )( 在区间 I 上不可能有第二类间断点.
系 4 ( 导函数的介值性) 若函数f 在闭区间ba ],[ 上可导, 且′−+ ′ bfaf < ,0)()(
.0)( ),,( ξ),,( ∋∈∃⇒ fba ′ξ= .0)( ( 证)
Th ( Darboux ) 设函数xf )( 在区间ba ],[ 上可导且′≠′ bfaf )()( . 若 k 为介于
′ af )( 与′ bf )( 之间的任一实数, 则ξ∈∃),,( ∋′ξ= kfba .)(
(设′<< ′ afkbf ),()( 对辅助函数= )()( − kxxfxF , 应用系 4 的结果. ( 证))
中值定理:
Th 3 设函数 f 和 g 在闭区间ba ],[ 上连续, 在开区间ba ),( 内可导, f ′和 g′在 ba ),(
内不同时为零, 又=/ bgag ).()( 则在ba ),( 内至少存在一点ξ, 使
f ′ξ)( − afbf )()(
= .
g′ξ)( − agbg )()(
− afbf )()(
证分析引出辅助函数 xfxF )()( −= xg )( . 验证xF )( 在ba ],[ 上满
− agbg )()(
足 Rolle 定理的条件, ∃⇒ξ∈ ba ),,( ∋
− afbf )()(
′ξ= fF ′ξ)()( − g′ξ= .0)(
− agbg )()(
必有 g′ξ=/ 0)( , 因为否则就有 f ′ξ= 0)( .这与条件“ f ′和 g′在 ba ),( 内不同时为
零”矛盾. ⇒
Cauchy 中值定理的几何意义.
Ex [1]P179 1—4;
: ( 讲 1 时)
1. 证明中值点的存在性: 参阅[3]P104.
例 1 设函数f 在区间ba ],[ 上连续, 在ba ),( 内可导, 则∃ξ∈ ba ),( , 使得
b
− afbf )()( ⋅= f ′ξξ)(ln .
a
证在 Cauchy 中值定理中取= ln)( xxg .
例 2 设函数f 在区间 ba ],[ 上连续,