文档介绍：常系数
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第八节
齐次线性微分方程
基本思路:
求解常系数线性齐次微分方程
求特征方程(代数方程)之根
转化
第十二章
二阶常系数齐次线性微分方程:
和它的导数只差常数因子,
代入①得
称②为微分方程①的特征方程,
1. 当
时, ②有两个相异实根
方程有两个线性无关的特解:
因此方程的通解为
( r 为待定常数),
①
所以令①的解为
②
则微分
其根称为特征根.
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2. 当
时, 特征方程有两个相等实根
则微分方程有一个特解
设另一特解
( u (x) 待定)
代入方程得:
是特征方程的重根
取 u = x , 则得
因此原方程的通解为
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3. 当
时, 特征方程有一对共轭复根
这时原方程有两个复数解:
利用解的叠加原理, 得原方程的线性无关特解:
因此原方程的通解为
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小结:
特征方程:
实根
特征根
通解
以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.
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若特征方程含 k 重复根
若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项
则其通解中必含
对应项
特征方程:
推广:
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例1.
的通解.
解: 特征方程
特征根:
因此原方程的通解为
例2. 求解初值问题
解: 特征方程
有重根
因此原方程的通解为
利用初始条件得
于是所求初值问题的解为
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例3.
解:
由第七节例1 (P293) 知, 位移满足
质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,
在无外力作用下做自由运动,
初始
求物体的运动规律
立坐标系如图,
设 t = 0 时物体的位置为
取其平衡位置为原点建
因此定解问题为
自由振动方程,
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方程:
特征方程:
特征根:
利用初始条件得:
故所求特解:
方程通解:
1) 无阻尼自由振动情况( n = 0 )
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解的特征:
简谐振动
A: 振幅,
: 初相,
周期:
固有频率
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(仅由系统特性确定)