文档介绍：R n 上的 Lebesgue 测度
教学目的本节利用中一般测度的构造方法, 构造一个重要的测度,
即欧氏空间 R n 上的 Lebesgue 测度. Lebesgue 测度的建立, 为定义 Lebesgue 积
分打下基础.
本节要点利用一般测度的构造方法,可以较快的构造出 Lebesgue 测
度. Lebesgue 测度不仅具有抽象测度具有的基本性质, 而且还具有一些特有的
性质,如利用开集或闭集的逼近性质等. Lebesgue 可测集包含了常见的一些集,
但仍存在不可测集. Lebesgue-Stieljes 测度是 Lebesgue 度的推广. 应利用较多
的例题,习题和几何直观使学生逐步加深对 Lebesgue 测度理论的理解.
在和中讨论了一般测度的性质和构造方法. 本节将讨论一个十分重要的情
形, 就是 n 维欧式空间 R n 上的 Lebesgue 测度和 Lebesgue-Stieltjes 测度. 我们将重点讨论
Lebesgue 测度, 然后介绍直线上的 Lebesgue- Stieltjes 测度.
方体的体积我们将要定义的 Lebesgue 测度是熟知的长度, 面积和体积概念的推广, 因
此我们先对 R n 上的方体的体积作一些规定. 设 I 是直线上的一个有界区间( I 可以是开
的, 闭的或半开半闭的). 用 I 表示区间 I 的长度, 即 I 的右端点与左端点之差. 若 I 是无
界区间则规定又规定空集也是区间并且设是直线上的个
, I = +∞. ∅= 0. I1 ,L, I n n
区间称 n 的子集为 n 中的一个方体在直线 1 和平面 2 中方体分
. R I = I1 ×L× I n R . R R ,
别就是区间和矩形若都是开区间则称为 n 中的开方体类似可定义 n 中
. I1 ,L, I n , I R . R
的闭方体和半开半闭方体设为 n 中的一个方体称为
. I = I1 ×L× I n R , I = I1 ⋅L⋅ I n
I 的体积.
环 R 上的测度设C 是 R n 中有界的左开右闭方体的全体所成的集类. 不难证明C
是一个半环(在 R1 的情形是显然的. 一般情形可以对 R n 的维数 n 用数学归纳法证明之.
具体过程留作习题). 对每个 I ∈C , 令
m(I) = I .
则显然集函数 m 在C 上是有限可加的并且 m(∅) = 0 . 又设 R 是由C 生成的环, 即
k
其中属于并且互不相交
R = {A = I i : I1 ,L, I k C , k ≥ 1}.
Ui=1
∞
(见定理 4).对每个 A∈ R , 若 A 的一个分解式为 A = I , 则令
U i=1 i
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k
m(A) = ∑ m(I i ). (1)
i=1
由引理 7, m(A) 的值不依赖于 A 的分解式的选取, 因此 m 在 R 上的值是确定的.
引理 1 由(1)式定义的 R 上的集函数 m 具有如下性质:
(i) m 是有限可加的.
(ii) m 是单调的.
是次有限可加