文档介绍：工程数学第2讲
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§5 复变函数
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1. 复变函数的定义
定义设G是一个复数z=x+iy的集合, 如果有一个确定的法则存在, 按照这一法则, 对于集合G中的每一个复数z, 就有一个或几个复数w=u+iv与之对应, 则称复变数w是复变数z的函数(简称复变函数), 记作
w=f(z)
如果z的一个值对应着w的一个值, 则函数f(z)是单值的; 否则就是多值的. 集合G称为f(z)的定义集合, 对应于G中所有z对应的一切w值所成的集合G*, 称为函数值集合.
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在以后的讨论中, 定义集合G常常是一个平面区域, 称之为定义域, 并且, 如无特别声明, 所讨论的函数均为单值函数.由于给定了一个复数z=x+iy就相当于给定了两个实数x和y, 而复数w=u+iv亦同样地对应着一对实数u和v, 所以复变函数w和自变量z之间的关系w=f(z)相当于两个关系式: u=u(x,y), v=v(x,y),它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函数.
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例如, 考察函数 w=z2令z=x+iy, w=u+iv, 则 u+iv=(x+iy)2=x2-y2+2xyi,因而函数w=z2对应于两个二元函数: u=x2-y2, v=2xy
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2. 映射的概念
如用z平面上的点表示自变量z的值, 而用另一个平面w平面上的点表示函数w的值, 则函数w=f(z)在几何上就可以看做是把z平面上的一个点集G(定义集合)变到w平面上的一个点集G*(函数值集合)的映射(或变换). 这个映射通常简称为由函数w=f(z)所构成的映射. 如果G中的点z被映射w=f(z)映射成G*中的点w, 则w称为z的象(映象), 而z称为w的原象.
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设函数w=z,
x
y
O
u
v
O
A
B
C
z1
z2
A'
B'
C'
w1
w2
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2a
设函数w=z2,
x
y
O
u
v
O
z1
z2
w2
z3
w3
a
w1
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假定函数w=f(z)的定义集合为z平面上的集合G, 函数值集合为w平面上的集合G*, 则G*中的每个点w必将对应着G中的一个(或几个)点. 按照函数的定义, 在G*上就确定了一个单值(或多值)函数z=j(w), 它称为函数w=f(z)的反函数, 也称为映射w=f(z)的逆映射.从反函数的定义可知, 对任意的wG*, 有 w=f[j(w)],当反函数为单值函数时, 也有 z=j[f(z)], zG
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今后, 我们不再区分函数与映射(变换). 如果函数(映射)w=f(z)与它的反函数(逆映射)z=j(w)都是单值的, 则称函数(映射)w=f(z)是一一的. 此时, 我们也称集合G与集合G*是一一对应的.
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