文档介绍：常微分方程期终试卷(18)
填空(30分)
1、称为齐次方程,称为黎卡提方程。
2、如果在上连续且关于满足利普希兹条件,则方程存在唯一的解,定义于区间上,连续且满足初始条件,其中,。
3、若1,2,……,是齐线性方程的个解,为其伏朗斯基行列式,则满足一阶线性方程。
4、对逼卡逼近序列,。
5、若和都是的基解矩阵,则和具有关系。
6、方程有只含的积分因子的充要条件是。有只含的积分因子的充要条件是。
7、方程经过点的解在存在区间是。
计算(60分)
求解方程。
解:所给微分方程可写成

即有
上式两边同除以,得
由此可得方程的通解为
即
求解方程
解:所给方程是关于可解的,两边对求导,有
当时,由所给微分方程得;
当时,得。
因此,所给微分方程的通解为
, (为参数)
而是奇解。
求解方程
解:特征方程,,
故有基本解组,,
对于方程,因为不是特征根,故有形如的特解,
将其代入,得,解之得,
对于方程,因为不是特征根,故有形如的特解,
将其代入,得,所以原方程的通解为
试求方程组的一个基解矩阵,并计算,其中
解:,,,均为单根,
设对应的特征向量为,则由,得,
取,同理可得对应的特征向量为,
则, ,均为方程组的解,令,
又,
所以即为所求基解矩阵。
求解方程组的奇点,并判断奇点的类型及稳定性。
解:令,得,即奇点为(2,-3)
令,代入原方程组得,
因为,又由,
解得,为两个相异的实根,
所以奇点为不稳定鞍点,零解不稳定。
求方程经过(0,0)的第二次近似解。
解:,
,
。
证明(10分)
假设不是矩阵的特征值,试证非齐线性方程组

有一解形如

其中,是常数向量。
证:设方程有形如的解,则是可以确定出来的。
事实上,将代入方程得,
因为,所以,
(1)
又不是矩阵的特征值,
所以存在,于是由(1)得存在。
故方程有一解