文档介绍：常微分方程期中考试试卷(5)

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证明题
8. 在方程中,已知,在上连续,:对任意和,满足初值条件的解的存在区间必为.
9.

的所有解的存在区间必为
10. 假设方程在全平面上满足解的存在惟一性定理条件,且,:若<,,则在区间I上必有<成立.
答案:1。解方程化为

令,则,代入上式,得

分量变量,积分,通解为

原方程通解为

2. 解因为,所以原方程是全微分方程.
取,原方程的通积分为

即
,分离变量得

等式两端积分得

方程的通积分为

令非齐次方程的特解为

代入原方程,确定出
原方程的通解为
+

原方程的通积分为

即
,所以原方程是全微分方程.
取,原方程的通积分为

即
,通解为

,该方程在整个平面上满足解的存在惟一及延展定理条件,又存在常数解.
对平面内任一点,若,则过该点的解是,显然是在上有定义.
若,则,记过该点的解为,那么一方面解可以向平面的无穷远无限延展;另一方面在条形区域内不能上、下穿过解和
,.
9. 证明由已知条件,该方程在整个平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件.
显然是方程的两个常数解.
任取初值,其中,.记过该点的解为,由上面分析可知,一方面可以向平面无穷远处无限延展;另一方面又上方不能穿过,下方不能穿过,.
10. 证明仅证方向,(反之亦然).
假设存在,使得>(=不可能出现,否则与解惟一矛盾
令=-,那么
=-< 0, =-> 0
由连续函数介值定理,存在,使得
=-= 0
即=
这与解惟一矛盾.
出卷人:沈益斌
02412-36