文档介绍：平面与空间直线
§
:
(1)通过点和点且平行于矢量的平面(2)通过点和且垂直于坐标面的平面;
(3)已知四点,,。求通过直线AB且平行于直线CD的平面,并求通过直线AB且与平面垂直的平面。
解: (1) ,又矢量平行于所求平面,
故所求的平面方程为:

一般方程为:
(2)由于平面垂直于面,所以它平行于轴,即与所求的平面平行,又,平行于所求的平面,所以要求的平面的参数方程为:
一般方程为:,即。
(3)(ⅰ)设平面通过直线AB,且平行于直线CD:
,
从而的参数方程为:
一般方程为:。
(ⅱ)设平面通过直线AB,且垂直于所在的平面
,
均与平行,所以的参数式方程为:
一般方程为:.
:
.
解: 与三个坐标轴的交点为:,
所以,它的截距式方程为:.
又与所给平面方程平行的矢量为:,
所求平面的参数式方程为:
:.
证明: 不妨设,
则平面的参数式方程为:
故其方位矢量为:,
从而平行于平面的充要条件为:
,共面
.
:连接两点的线段平行于平面,求里的坐标.
解:
而平行于
由题3知:
从而.
§ 平面与点的相关位置
:
(1), ;
(2), .
解: 将的方程法式化,得:
,
故离差为:,
到的距离
(2)类似(1),可求得
,
到的距离
:
(1)在轴上且到平面的距离等于4个单位的点;
(2)在轴上且到点与到平面距离相等的点;
(3)在x轴上且到平面和距离相等的点。
解:(1)设要求的点为则由题意
或7.
即所求的点为(0,-5,0)及(0,7,0)。
(2)设所求的点为则由题意知:
由此,或-82/13。
故,要求的点为及。
(3)设所求的点为,由题意知:
由此解得:或11/43。
所求点即(2,0,0)及(11/43,0,0)。
,计算从顶点向底面ABC所引的高。
解:地面ABC的方程为:
所以,高。
。
解:球面的半径为C到平面:的距离,它为:
,
所以,要求的球面的方程为:
.
即:.
两平面的相关位置
:
(1)与;
(2)与;
(3)与。
解:(1) , (1)中的两平面平行(不重合);
(2) , (2)中两平面相交;
(3) , (3)中两平面平行(不重合)。
:
(1)使和表示同一平面;
(2)使与表示二平行平面;
(3)使与表示二互相垂直的平面。
解:(1)欲使所给的二方程表示同一平面,则:
即:
从而:,,。
(2)欲使所给的二方程表示二平行平面,则:
所以:,。
(3)欲使所给的二方程表示二垂直平面,则:
所以: 。
:
(1),;
(2),。
解:(1)将所给的方程化为:
所以两平面间的距离为:2-1=1。
(2)同(1)可求得两平行平面间的距离为1+2=3。
:
(1),;
(2),。
解:(1)设:,:

或。
(2)设:,:

或。
§
:
(1)通过点和点的直线;
(2)通过点且平行于两相交平面:
的直线;
(3)通过点且与三轴分别成的直线;
(4)通过点且与两直线和垂直的直线;
(5)通过点且与平面垂直的直线。
解:(1)由本节(—6)式,得所求的直线方程为:
即:,亦即。
(2)欲求直线的方向矢量为:
所以,直线方程为:。
(3)欲求的直线的方向矢量为:,
故直线方程为:。
(4)欲求直线的方向矢量为:,
所以,直线方程为:
。
(5)欲求的直线的方向矢量为:,
所以直线方程为:
。
:
(1)在直线上与原点相距25个单位的点;
(2)关于直线与点对称的点。
解:(1)设所求的点为,则:
又
即:,
解得:或
所以要求的点的坐标为:。
(2)已知直线的方向矢量为:,或为,
过垂直与已知直线的平面为:,
即,
该平面与已知直线的交点为,所以若令为P的对称点,则:
,,
,
即。
:
(1)通过点,且又通过直线的平面;
(2)通过直线且与直线
平行的平面;
(3)通过直线且与平面垂直的平面;
(4)通过直线向三坐标面所引