文档介绍：数学分析(三)试卷3及答案
一叙述题(每小题10分,共30分)
叙述第一类曲面积分的概念。
叙述Stokes公式的内容。
叙述Dirichlet引理及其等价形式。
二讨论题(每小题10分,共20分)
讨论函数
在任意有界闭区域上的可积性。
试确定函数
的连续范围。
三计算题(每小题10分,共30分)
(分别为),求其最大面积,并且指出此时四边形的几何特性。
。
将下列函数展开成Fourier级数
并利用其展开式求
四证明题(每小题10分,共20分)
若
积分收敛,
函数有界,并且关于是单调的,
则积分一致收敛。
设有半径为的球面,其球冠的高为,证明球冠的面积
.
答案
一叙述题(每小题10分,共30分)
(或分片光滑)曲面,函数在上有界。将曲面用一个光滑曲线网分成片小曲面,并记为的面积。在每片上任取一点,作和式
。
如果当所有的小曲面的最大直径为趋于零时,这个和式的极限存在,且与小曲面的分法和点的取法无关,则称此极限值为在曲面上的第一类曲面积分,记为
。
,其边界为分段光滑闭曲线。若函数,和在其边界上上具有连续偏导数。则成立

,其中取诱导正向。
,则成立
。
等价形式:=。
二讨论题(每小题10分,共20分)
首先,函数在任意有界闭区域上是不可积的。下面证明这一点
任给区域的分割,将分成个小区域:,设它们的面积分别是:.在小区域上任取一点.
若与都是有理数,有,则积分和
.
其中是区域的面积.
若与至少有一个是无理数,有,则积分和
,
因而,当时,积分和不存在极限,即函数在任意有界闭区域上是不可积的.
,将积分写成
。
因为当时~,所以只有当即时才收敛;而显然只有当时才收敛。所以的定义域为。
现在说明在其定义域上连续。为此只要说明在任意闭区间上,连续即可。
对任意闭区间,由于
,
且收敛。因此由Weie