文档介绍：数学分析(二)试卷11
叙述题:(每小题5分,共15分)
Darboux和
无穷限反常积分的Cauchy收敛原理
Euclid空间
计算题:(每小题7分,共35分)
1、
2、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积

3、(n是非负整数)
4、设具有二阶连续偏导数,求
5、求的幂级数展开式
讨论与验证题:(每小题10分,共20分)
1、讨论二元函数连续、偏可导、可微之间的关系。对肯定的结论任选一进行证明;对否定的结论,给出反例
2、讨论级数的绝对和条件收敛性。
证明题:(每小题10分,共30分)
f(x)在[0,+∞)上连续且恒有f(x)>0,证明在[0,+∞)上单调增加
设正项级数收敛,单调减少,证明
,证明:不存在
参考答案
一、1、有界函数定义在上,给一种分法,和记,则分别称为相应于分法的Darboux大和和Darboux小和。
2、使得,成立
3、向量空间上定义内积运算构成Euclid空间
二、1、由于(7分)
2、解:两曲线的交点为(2,2),(0,0),(2分)
所求的面积为:(5分)
解:
=+=+(6分)
(1分)
4、:=(3分)(4分)
5、解: 由于余项,(3分)所以(4分)
三、1、解、可微必可偏导和连续,证明可看课本133页(4分),可偏导不一定连续和可微例子可看课本135页(6分)
2、解:当时,级数绝对收敛,(4分)当,由Dirichlet定理知级数收敛,但,所以发散,即级数条件收敛(4分),当
时,级数的一般项不趋于0,所以级数不收敛(2分)
四、证明题(每小题10分,共30分)
证明:(8分)
所以函数单调增加(2分)
2、证明:,有由此得,(4分)由级数收敛,故可取定使得,又,故使得时,有,(4分)于是当时,有,得证(2分)
3、证明:,所以不存在(10分)