文档介绍：数学分析(二)试卷10
叙述题:(每小题5分,共15分)
开集和闭集
函数项级数的逐项求导定理
Riemann可积的充分必要条件
计算题:(每小题7分,共35分)
1、
2、求绕x轴旋转而成的几何体的体积
3、求幂级数的收敛半径和收敛域
4、
5、,l为从点P0(2,-1,2)到点(-1,1,2)的方向, 求fl(P0)
讨论与验证题:(每小题10分,共30分)
1、已知,验证函数的偏导数在原点不连续,但它在该点可微
2、讨论级数的敛散性。
3、讨论函数项级数的一致收敛性。
证明题:(每小题10分,共20分)
若收敛,且f(x)在[a,+∞)上一致连续函数,则有
设二元函数在开集内对于变量x是连续的,对于变量y满足Lipschitz条件:其中为常数证明在D内连续。
参考答案
一、1、若集合S中的每个点都是它的内点,则称集合S为开集;若集合S中包含了它的所有的聚点,则称集合S为闭集。
设函数项级数满足(1)在[a,b]连续可导
在[a,b]点态收敛于
在[a,b]一致收敛于
则=在[a,b] 可导,且
3、有界函数在[a,b]上可积的充分必要条件是,对于任意分法,当时Darboux大和与Darboux小和的极限相等
二、1、令(2分)(5分)
2、,(2分)所求的体积为:(5分)
3、解:由于收敛半径为(4分),当时,,所以收敛域为(3分)
4、:(7分)
5、解: 设极坐标方程为(4分)(3分)
三、1、解、(4分)由于当趋于(0,0)无极限。所以不连续,同理可的也不连续,(2分)
2、解:(5分)收敛,所以原级数收敛(5分)
3、解:部分和(3分), 取,时有,所以级数一致收敛(7分)
四、证明题(每小题10分,共20分)
1、证明:用反证法
若结论不成立,则,使得,(3分)又因为在f(x)在[a,∞)上一致连续函数,,只要,有,(3分)于是,取上述使的点,不妨设,则对任意满足的,有取A和A‘分别等于和,则有,由Cauchy收敛定理,不收敛,矛盾(4分)
2、证明:,由Lipschitz条件(1),(6分)又由二元函数在开集内对于变量x是连续的,(1)式的极限为0,在连续,因此在D内连续(4分)