文档介绍：第二章模糊集合
引论
一、模糊集合产生的原因
1、现实世界中存在大量的模糊现象和模糊概念。如“青年人”、“高个子”等。
2、研究模糊性具有重要的现实意义。如“做化学实验”、“炒莱”等。
3、信息科学和人工智能的发展促进了模糊数学的产生。如“电视图像的调节”等。
人脑思维活动的特点之一:就是能对模糊事物进行识别和判断。
如:要找一个人,只知道他是“高个子,大胡子”,无须知道他的身高究竟具体是多少米,
以及脸上有多少根胡子、平均有多粗。
二、模糊性与随机性的区别
1、模糊性:事物的概念本身是模糊的。即事物是否符合给出的概念不明确。
2、随机性:事物的概念本身是明确的,只是发生的条件不充分,使条件与事物的发生无因果
关系,从而事物的发生与否表现出不确定性,但有统计规律。
三、起源
1965年,(美)著名控制论教授扎德( )发表论文“模糊数学( fuzzy )”。
给定量研究客观世界中的模糊性开辟了新途径。
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模糊集合的定义
一、普通集合论知识:确定概念→普通集合→特征函数
1、集合的概念:符合某个确定概念的对象的全体。常用字母 A、B、C 等表示。
因此,确定概念可用集合来表示,集合是确定概念的外延。
2、论域:某议题范围内被讨论的全部对象。常用字母 U、V、X、Y 等表示。
论域中的每个对象叫元素。常用字母 a、b、c、d 等表示。
如:{中南大学的学生}就可以成为一个论域。
⑴有限论域:元素个数为有限个或可列个的论域。
⑵无限论域:元素个数为无限个的论域。
3、论域中的子集:论域U中某一部分元素组成的全体叫论域U中的一个集合。
用 A、B、等表示。
如论域 U ={中南大学的学生},则 A = {中南大学的男学生}就是论域 U 中的一个集合。
二、模糊子集的定义:模糊概念→模糊集合→隶属函数
给定论域 U ,称A是论域 U 上的模糊子集( 记为Ã ):
如果对x∈U,都有一个确定的数A(x)∈[0,1]与之对应。
此时,映射A(x): U [0,1]
x A(x) A(x)称为 A 的隶属函数;
数A(x)称为论域U中的元素 x 对模糊子集 A 的隶属度,表示 x 属于 A 的程度。
特例:当A(x)=0、1时,模糊子集Ã 蜕化为普通集合 A ;
à 的隶属函数A(x) 蜕化为 A 特征函数 CA(x),即
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例2-1 组成一个100人的评比小组,对五种商品X1,X2,X3,X4,X5进行评比。结果是:
认为商品X1“质量好”的有81人,占81%=;认为商品X2“质量好”的有53人,占53%=;
认为商品X3“质量好”的有100人,占100%=1;认为商品X4“质量好”的有0人,占0%=0;
认为商品X5“质量好”的有24人,占24%=。
对论域 U = {X1,X2,X3,X4,X5}(有限论域)中的每一个元素均规定了一个隶属度:
X1→,X2 →,X3 →,X4 →0 ,X5 →
它们确定了 U 中的一个模糊子集 A,表示商品“质量好”这一模糊概念。
例2-2 考查某商店商品销售利润的经济效益
论域 U = [ 0 ,k ](无限论域)表示该商品销售利润额的范围,
则表示商品销售利润的“经济效益好”这一模糊概念的模糊子集Ã,用以下隶属函数表示:
其中,n为同期商品销售额,m为销售利润效益最好时刻的利润率。
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例2-3 取年龄为论域 U=[0,100],给出两个模糊概念“年轻”和“年老”,
表示它们的两模糊子集记为Y与O,其隶属函数定义为:
0
1
50
100
x
0
1
25
100
x
若你的年龄 x = 30 岁,则
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模糊子集的运算: Ã 仍记为 A (除非特别申明)
:对论域 U
⑴模糊空集:对xU,均有(x)=0
⑵模糊全集 E :对xU,均有E(x)=1
⑶模糊幂集(U) :U 中的全体模糊子集(含普通子集)构成的普通集合(其元素是模糊子集)。
⑷ A = B :对xU,均有A(x) = B(x)
⑸ A B :对xU,均有A(x)≤B(x)
、交、余运算:对论域 U
⑴并(A∪B):设 A ,B (U),对xU,则 A∪B 是由下列隶属函数确定的模糊子集
A∪B(x) = Max{A(x),B(x)}= A(x)∨B(x)
⑵交(A∩B):设 A ,B (U),对xU,则 A∩B 是由下列隶属函数确定的模糊子集
A∩