第6-4,5节高斯求积公式.ppt

文档介绍：§ 高斯求积公式
一、高斯求积的基本思想
可否放弃等距节点的限制,构造出稳定性好、
精确度高且又收敛的求积公式.
——中矩形公式
代数精度为1 阶
例如,若在区间[-1,1]上, p(x)=1
插值型求积公式,代数精度为3 阶
)
3
3
(
)
3
3
(
)
(
1
1
f
f
dx
x
f
+
-
»
ò
-
由此得两点公式
3
3
3
3
1
1
0
3
2
0
2
1
0
1
0
3
1
1
3
0
0
2
1
1
2
0
0
1
1
0
0
1
0
x
x
x
x
x
x
x
x
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
=
-
=
=
=
Þ
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
+
=
+
=
+
=
+
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
,
,
,
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
(
3
2
1
1
1
1
0
0
x
x
x
x
f
x
f
x
f
dx
x
f
=
+
»
ò
-
使上式成立,得非线性方程组
令
建立两点积分公式
w
w
问题有没有其他的途径来建立稳定性好、精确度高且又收敛的求积公式?
【定理4】
【定义】
二、高斯求积公式
【定理5】

2. 高斯求积公式的余项

高斯求积公式具有较高的代数精度((2n+1)阶),
并且是数值稳定的.
【定理6】
其中
0
n
j
j
i
j
x
li(x)
=
¹
-
=
-
Õ
x
i
x
j
x
三、几种常见的高斯求积公式
-勒让德求积公式
以高斯点为零点的 n+1次多项式,

称为勒让德(Legendre)多项式。
余项
P173 表6-6列出了 n:0-6 时高斯-勒让德
求积公式的节点和系数.
例2 分别用三点,四点高斯-勒让德求积公式
计算