第一讲 常数项级数的概念和性质.doc

文档介绍：第一讲常数项级数的概念和性质
本讲教学内容




【教学目的与要求】


【教学重点与难点】
级数收敛的条件
§ 数项级数
一、级数的定义
给定数列,,把它们各项依次相加得到
称为由这个数列产生的无穷级数(简称级数),
称为级数的一般项.
二、级数的敛散性
设是级数的前项和,即
,
称为级数部分和.
部分和
构成一个数列,称为级数的部分和数列.
若时部分和数列有极限,即(为常数),
则称级数收敛,其极限值称为该级数的和,记为
.
若没有极限,则称该级数发散(不收敛).
当级数收敛于时,其和与部分和的差
称为该级数的余项.
用作为的近似值所产生的误差,就是余项的绝对值.
例1 ,等式右端是一个以3为循环节的无限循环小数,写成级数就是
.
例2 判断等比级数(几何级数) 的敛散性.
解若,则部分和为.
(1)当时,;
(2)当时,;
(3)当时,;.
(4)当时,
其部分和
.
此时,不存在.
因此,当时,等比级数收敛于;当时,等比级数发散.
三、收敛级数的基本性质
由级数收敛的定义可知,级数的收敛问题,实质上就是其部分和数列有无极限的问题,因此我们可以用数列极限的相关结论来推证级数的一些重要性质.
性质1 若级数收敛,为任一非零常数,则级数也收敛;且有.
性质2 若级数和分别收敛于和,则级数也收敛,且有.
推论若级数和均收敛,则对任何非零常数、,级数
也收敛,且有
.
性质3 在级数的前面添上或去掉有限项,级数的敛散性不变.
性质4 若级数收敛,则对级数的项任意加括号后,所得的级数仍收敛且其和不变.
,
加括号后


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