文档介绍：第五章大数定理与中心极限定理
“概率是频率的稳定值”。前面已经提到,当随机试验的次数无限增大时,频率总在其概率附近摆动,逼近某一定值。大数定理就是从理论上说明这一结果。正态分布是概率论中的一个重要分布,它有着非常广泛的应用。中心极限定理阐明,原本不是正态分布的一般随机变量总和的分布,在一定条件下可以渐近服从正态分布。这两类定理是概率统计中的基本理论,在概率统计中具有重要地位。
§1 大数定理
定理(契比雪夫(Chebyshev)不等式):设随机变量X具有数学期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2 ,则对于任意正数ε,有
§ 契比雪夫(Chebyshev)不等式
证明(1)设X的概率密度为p(x),则有
(2)设离散型随机变量X的分布律为P{X=xk}=pk,则有
例:在供暖的季节,住房的平均温度为20度,标准差为2度,试估计住房温度与平均温度的偏差的绝对值小于4度的概率的下界.
解
解
§ 大数定律
定义:设{Xk}是随机变量序列,数学期望E(Xk)(k=1,2,...)存在,若对于任意ε>0,有
则称随机变量序列{Xn}服从大数定律.
定理(契比雪夫(Chebyshev)大数定律):设{Xk}是两两不相关的随机变量序列,具有数学期望E(Xk)和方差D(Xk)[k=1,2,...].若存在常数C,使得D(Xk) ≤C(k=1,2,…),则对于任意给定的ε>0,恒有
证明
推论(契比雪夫大数定律的特殊情况):设{Xk}是两两不相关的随机变量序列,具有相同的数学期望E(Xk)=μ和方差D(Xk)=σ2(k=1,2,…),则对于任意给定的ε>0,恒有
注:
解
所以,满足切比雪夫大数定理的条件,可使用大数定理.
伯努里大数定律: 设进行n次独立重复试验,每次试验中事件A发生的概率为p,记fn为n次试验中事件A发生的频率,则
证明:设
第i次试验事件A发生
第i次试验事件A不发生
则
由切比雪夫大数定律