文档介绍：大数定律
及
中心极限定理
定理一设随机变量X1 , X2 ,…, Xn , …相互独立,且
具有相同的数学期望和方差: E(Xk)=,D(Xk)=2(k=1,2,…)
作前 n 个随机变量的算术平均
一大数定律
频率具有稳定性,大量测量值的算术平均值也具有
稳定性,这种稳定性就是大数定律的客观背景。
则对于任意正数ε有
定理的意义:当n很大时X1,X2 ,…, Xn的算术平均值
这种接近
是在概率意义下的接近. 通俗地讲, 在定理的条件下, n个随机变量的算术平均,当n无限增大时将几乎变成一个常数。
设Y1 , Y2 , …, Yn是一个随机变量序列,a是一个
常数,若对于任意e>0有
则称序列Y1 , Y2 , …, Yn依概率收敛于a,记为
故上述定理一又可叙述为:
定理一设随机变量 X1,X2 ,…, Xn,…相互独立,且具
有相同的数学期望和方差: E(Xk) =, D(Xk)=2 (k=1,2,…)
则序列
定理二(贝努利定理)设nA是n次独立重复试验中事
事件A发生的次数, p是事件A在每次试验中发生的概率,
依概率收敛的序列还有以下的性质
则对于任意正数e >0,有
或
()
证引入随机变量
显然 nA=X1+X2+····+Xn .
由于Xk只依赖于第k次试验,
X1 , X2 ,···是相互独立的;又由于Xk服从(0--1)分布,故有
E(Xk)=p , D(Xk ) = p(1-p), k=1, 2, ··· , n , ···.
由定理一有
即
贝努利定理表明事件A发生的频率nA/n依概率收敛于事件
的概率p,且以严格的数学形式表达了频率的稳定性。n
很大时,事件发生的频率与概率的偏差很小, 故可用频率
代替概率。
定理一中要求X1 ,X2 ····的方差存在。但服从相同分布的场合,并不需要这一要求,故有以下定理。
定理三(辛钦定理) 设随机变量 X1,X2 ,…, Xn,…相互
独立, 服从同一分布,且具有相同的数学期望 E(Xk)=m
(k=1,2,···),则对于任意正数e,有
()
二中心极限定理
有些随机变量,它们是由大量相互独立的随机因素综合影响所形成的,而其中每一个别因素在总的影响中所起作用都是很微小的。这种随机变量往往近似服从正态分布。
证略。易见贝努利定理是辛钦定理的特殊情况
定理四(独立同分布的中心极限定理) 设随机变量X1,
X2 ,…, Xn,…相互独立, 服从同一分布,且具有数学期望和
方差:E(Xk)=m, D(Xk)=s20(k=1, 2,…),则随机变量
的分布函数Fn(x)对于任意x满足
()
证略。
例1:据以往经验,某种电子元件的寿命服从均值为100小时的指数分布,现随机的取16只,设它们的寿命是相互独立的,求这16 只元件的寿命的总和大于1920小时的概率?
解:设 Xk 表示第k只元件的寿命(k=1,2,3,…….16)
则 Xk 服从指数分布,E(Xk)=100, D(Xk)=10000
设 Z= X1+X2+……+X16 则所求概率为:
由于:E(xk)=100, D(xk)=1002 则