第五章大数定律及中心极限定理.ppt

文档介绍：第五章大数定律与中心极限定理
一、大数定律
定义设随机变量序列{Xn},如果存在一个常数a,使得对任意的
ε>0,有
=1
则称依概率收敛于a,记作
定义设随机变量序列{Xn},记Yn=1/n(X1+X2+…+Xn),如果存在一个常数序列an,使得对任意的ε>0,有
=1
则称随机变量序列{Xn}服从大数定律

二、切比绍夫不等式
设随机变量X的方差存在(这时均值也存在),则对任意正数ε有下面不等式成立
~
用切贝绍夫不等式证明
证明:
EX=
=n+1
EX2=
=(n+1)(n+2)
所以,
DX=EX2-(EX)2=n+1
[这里,ε=n+1]
1. 设随机变量X的方差D(X)=,
则由切比绍夫不等式可知
P{|X-E(X)|<3×}≥( ).
2. 设随机变量X~E(1/n),用切比绍夫
不等式证明
P{-1<X<2n+1}≥(2n+1)/(n+1)(n+1)
3. 设P{|X-E(X)|<ε},D(X)=( ).
课堂练习

4.(894) 设随机变量X的数学期望为μ,
标准差为σ,则由切比绍夫不等式
P{|X-μ|≥3σ}≤( ).
5. 设随机变量X的分布律为
P{X=}=, P{X=}=,
用切比绍夫不等式估计
|X-E(X)|<.
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定理(切比雪夫大数定律) 设随机变量序列{Xn}相互独立,且
均存在有限方差,且方差D(Xn) ≤C (n=1,2,...), 其中常数C与n 无关,则对任意的ε>0 ,有
三、几个常见的大数定律
定理(辛钦大数定律) 设随机变量序列{Xn}相互独立,服从同一分布,且有相同的期望E(Xn)=,则对任意的ε>0 ,有
定理(贝努里利大数定律) 设每次实验中事件A发生的概率
为p,n次重复独立实验中事件A发生的次数为nA,则对任
意的ε>0 ,事件的频率,有
定理设X~N(μ,σ2),
则Y~N(0,1).
所以,若X~N(μ,σ2), 则
P{X<a}= P{X>a}=
P{a<X<b}=
X~N(μ,σ2)
定义:一般地,若在一次实验中成功的概率为p(0<p<1),独立重复
进行n次,这n次中实验成功的次数X服从的分布为二项分布:
X~B(n,p)
复习

定义:
若相互独立随机变量序列{Xn}的标准化和
使得
则称随机变量序列{Xn}服从中心极限定理
定理(列维—林德贝格定理())
设X1,X2,…,X n,…为独立同分布序列,期望μ,方差σ2>0, 则当n充分大时,
所以
注意
(1)一般地,只要n比较大,就可应用以上定理;
(2)应用该定理时,需要找出独立同分布的随机变量序列以及
它们的期望和方差,再应用正态分布的有关计算方法.