文档介绍：第六章函数空间Lp简介(续)
本讲目的:掌握Lp-空间中的按范数收敛概念,熟悉几种收敛概念的关系,了解Lp-空间的科学意义及其在微分、积分方程中的应用。
重点与难点:几种收敛概念的关系。
第二节 Lp-空间简介(续)
第二节 Lp-空间简介(续)
既然已经有了距离概念,我们便可以在中定义序列的极限。
定义2设, , ,如果,即,则
称是方平均收敛到的可测函数列,或说按中范数收敛到,记作
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至此,我们又有了一种函数序列的收敛概念,这种收敛概念与前面的几乎处处收敛以及依测度收敛概念是什么关系?这是我们应该弄清楚的问题。
例1 令,
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则对任意, ,即在上处处收敛到。然而,当把
看作中的元素时,有
因此按中范数并不收敛到0。
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例2 设,记
令
……
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我们已经知道是处处不收敛到0的函数,现设,则在中,有
若, 则
由于时,显然有,所以
即。
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从例1、例2立知,处处收敛不蕴含
方平均收敛, 方平均收敛也不蕴含处处收敛。但下面的定理指出, 方平均收敛蕴含依测度收敛。
定理3 设。且,则。
证明:对任意。记
,
则
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由于, 所以对任何固定的有
,即
证毕。
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推论若, 且,则。即中序列的极限是唯一的。
证明:由定理3及,
知, ,再由第三章§2定理6知
,故作为中元,有。
证毕。
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定理4 设,如果,则
证明:注意到
,
及