文档介绍：章节题目
第九节函数的连续性与间断点
内容提要
函数在一点连续必须满足的三个条件
区间上的连续函数
间断点的分类与判别
重点分析
间断点的分类与判别
难点分析
分段函数连续的判别
函数间断点的判别
习题布置
:2(1)(3)、3
备注
教学内容
一、函数的连续性

定义1 设函数在内有定义,如果当自变量的增量趋向于零时,对应的函数的增量也趋向于零,即或,那末就称函数在点连续,称为的连续点.

定义2 设函数在内有定义,如果函数当时的极限存在,且等于它在点处的函数值,即那末就称函数在点连续.

例1
证:
由定义2知

定理:
例2
解:

右连续但不左连续,

在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
例如:
例3
证:

二、函数的间断点

例4
解:

例5
解:

注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.
如例5中,
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.
特点:

例6
解:

例7
解:

注意:不要以为函数的间断点只是个别的几个点.
★狄利克雷函数
在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.
★
仅在x=0处连续, 其余各点处处间断.
★
在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续.
判断下列间断点类型:
例8
解:

三、小结
;
;
;
间断点:第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点:无穷型,振荡型.
思考题
若在连续,则、在是否连续?又若、在连续,在是否连续?
思考题解答
在连续,
故、在都连续.
但反之不成立.
例如:在不连续
但、在连续