文档介绍：第5章积分
定积分的概念源于面积问题, Newton和Leibniz分别认识到微分和积分是一对互逆运算.
§ 定积分概念
一、例子
(A) 质点运动路程设有一质点以速度v = v(t)C[a, b] , 作变速直线运动, 下面求时刻a到时刻b质点经过的路程s.
(1) 分割在[a, b]上取分点a = t0 < t1<…< tn = b, 将[a, b]分为n个小区间[ti–1, ti] (i =1,2, …,n), 其长度记为ti = ti– ti–1.
(2) 作和i[ti–1, ti], 当ti很小时, 质点在时段[ti–1, ti]经过的路程si  v(i)ti, 故质点在[a,b]经过的路程近似为
(3) 取极限记, 若极限存在, 则该极限即为质点在时间[a, b]内所走过的路程.
(B) 曲边梯形面积由直线x = a, x = b, 曲线y = f (x) > 0和x轴所围成的图形称为曲边梯形.
O
a=x0
xn=b
x
y
y = f (x)
x1
xi–1
xi
i
xn–1
x2
(1) 分割在[a,b]上取分点a = x0 < x1<…< xn=b, 将[a,b]分为n个小区间[xi–1, xi] (i=1,2, …, n), 其长度记为xi = xi– xi–1.
(2) 作和i[xi–1, xi], 当xi很小时, 第i个小曲边梯形面积Si  f (i)xi 故整个曲边梯形面积近似为
(3) 取极限记, 若极限存在, 则称之为曲边梯形的面积.
二、定义
分划任意在(a, b)内插入n–1个分点使a =x0 < x1<…< xn=b称为[a, b]的一个分划. 记作p={x1, x2,…, xn}. 记xi=xi–xi–1, 称为分划p的模.
定义设f (x): [a, b] R. 若IR, 对[a, b]的任何分划p以及i[xi–1, xi], 作和总有, 则称f (x)在[a, b]可积, 记为f (x) R[a, b]. I称为f (x)在[a, b]上的定积分, 记为即
其中—积分符号; a, b —积分下、上限; [a, b]—积分区间; f (x)—被积函数; x—积分变量.
①称为Riemann和或积分和.
②“”描述IR, > 0, > 0, 对满足=||p|| < 的分划p及i[xi–1, xi], 有
④,即
③极限过程0不能换为n+.
例1 证明Dirichlet函数在[0, 1]不可积.
证取[0, 1]的任意一个分划p={x1, x2,…, xn}. 若取i[xi–1, xi]为有理数, 则
若取i[xi–1, xi]为无理数, 则
从而D(x)在[0, 1]不可积.
⑤定积分的值I还与[a, b]的分划和i [xi–1, xi]的选取无关. 若存在两个分划或不同i的选取, 使得Riemann和的极限不同, 则f (x)在[a, b]上不可积.
3) 当f (x)  0时, 曲边梯形在x轴下方, 面积
4) 因此表示直线x = a, x = b, 曲线y= f