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基础部分
第一课微积分
第 3 章导数概念、性质与计算
导数概念
导数定义与概念是一元函数微分学的核心内容,对它的背景与概念,应从极限的角度去认识,
并且应把导数的定义看作一种标准极限模式。
由导数概念本身,可以得到一系列重要性质,而这些性质是研究函数性态的重要依据与工具。
在计算方面,应训练准确快速的导数计算能力。在学习中要掌握好基本初等函数的导数公式,导
数的四则运算法则和复合函数的求导法则,以及反函数、隐函数和由参数方程确定的函数的求导
公式及要点。
导数定义及其变形形式
定义 设函数 y = f (x) 在点 x0 的某邻域内有定义,
∆x = x − x0, ∆y = f (x0 +∆x) − f (x0 )
∆y f (x0+∆x) − f (x0 )
lim = lim = f ′(x0 )
∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x
f (x) − f (x0 )
f ′(x0 ) = lim
∆x→0
x − x0
导数 f ′(x0 )的几何意义:切线斜率。
∆f (x0 )
等价性描述: = A +α(∆x) ,
∆x
且 A = f ′(x0 ) 。其中α(∆x) 是∆x → 0时的无穷小量。进一步可改写为
∆f (x0 ) = f ′(x0 )∆x +α(∆x) ⋅∆x
或 f (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )∆x + β(∆x)
其中β(∆x) = α(∆x) ⋅∆x 为∆x → 0时的高阶无穷小量。
导数定义的描述,还可以扩展理解为
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f (x0 +α(∆x)) − f (x0 )
f ′(x0 ) = lim
∆x→0 α(∆x)
定义 如果
∆y f (x0 +∆x) − f (x0 )
lim = lim
∆x→0−∆x ∆x→0−∆x
存在,则称此极值为 f (x)在 x0 处的左导数,记为 f−′(x0 );如果
∆y f (x0 +∆x) − f (x0 )
lim = lim
∆x→0+ ∆x ∆x→0+ ∆x
存在,则称此极值为 f (x)在 x0 处的右导数,记为 f+′(x0 ) 。
显然由极限存在的充要条件, f (x)在 x0 处可导的充分必要条件是 f (x)在 x0 处
的左、右导数都存在,且相等 f−′(b) = f+′(a) 。
当我们说 f (x)在闭区间[a,b]上可导时,是指 f (x)在(a,b) 内每一点都可
导,并且 f+′(a) 与 f−′(b) 均存在。
例
3 1
lim x[sin ln(1+ ) − sin ln(1+ )] = 。
x→∞ x x
1
【解】令t = ,则
x
sin ln(1+ 3t) − sin ln(1+ t)
原极限= lim
t→0 t
= [sin ln(1+ 3t) − sin ln(1+ t)]′|t=0 = 2。
例 若 f ′(a) = k 存在,则
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⎛ 1 ⎞
lim h⎜ f (a −) − f (a)⎟= ( )。
h→+∞⎝ h ⎠
(A) − k 。(B) k 。(C)0 。(D)不存在。
⎛ 1 ⎞
【解】 lim h⎜ f (a −) − f (a)⎟
h→+∞⎝ h ⎠
1
f (a −) − f (a)
h f (a + t) − f (a)
= − lim = − lim
1 −
h→+∞− t→0 t
h
= − f−′(a) = − f ′(a) = −k.
上述第最后用到了导数存在的充要条件:左右导数存在且相等,因此应选(A)。
⎧ 1
xarctan , x > 0
⎪ x
例 设 f (x) = ⎨,
π
⎪(esin x −1), x ≤ 0
⎩⎪2
讨论 f (x)的可微性,若可微,求 f ′(x) 并讨论其连续性。