文档介绍：课题:
不定积分
目的要求:
掌握不定积分与导数的关系
掌握不定积分的基本积分表
掌握不定积分的凑微分法,换元法,分部积分法
掌握有理真分式的不定积分
教学重点:
掌握不定积分的运算
教学难点:
掌握不定积分的运算
教学课时:6
教学方法:对比法,讲练结合
教学内容与步骤:
原函数的概念:
定义 1 设是定义在某区间的已知函数,若存在函数,使得
或,
则称为的一个原函数.
例因为,故lnx是 1/x的一个原函数;因为,所以是2x的一个原函数,但,所以 2x的原函数不是惟一的.
说明:
第一,原函数的存在问题:如果在某区间连续,那么它的原函数一定存在(将在下章加以说明).
第二,原函数的一般表达式:前面已指出,若存在原函数,就不是惟一的,那么,这些原函数之间有什么差异?能否写成统一的表达式呢?对此,有如下结论:
定理若是的一个原函数,则+C是
的全部原函数,其中 C为任意常数.
证由于,又,所以函数族+C中的每一个都是的原函数.
另一方面,设G(x)是的任一个原函数,即,则可证与G(x),因为
,
所以,或者,这就是说
的任一个原函数G(x)均可表示成+C的形式.
不定积分的概念:
定义 2 函数的全体原函数+C叫做的不定积分,定积分,记为
,其中,
上式中的x叫做积分变量,叫做被积函数,dx叫做被积表达式,C叫做积分常数,“”叫做积分号.
例 1 求下列不定积分:
(1); (2); (3).
解(1)因为,所以.
(2)因为,所以.
(3)因为x>0时,,又x<0时,,所以.
例 2 设曲线过点(1,2)且斜率为2x,求曲线方程.
,故.
又因为曲线过点(1,2),故代入上式2=1+C,得 C=1,于是所求方程为.
例 3 设某物体运动速度为,且当 t=0时,s=2,求运动规律.
解按题意有,即,再将t=0代入得:
C=2,故所求运动规律为
注:积分运算与微分运算之间的互逆关系:
(1)或
(2)或
基本积分公式:
由于求不定积分是求导数的逆运算,所以由导数公式可以相应地得出下列积分公式:
(1)(为常数),
(2)(),
(3),
(4),
(5) ,
(6),
(7),
(8),
(9),
(10),
(11),
(12),
(13).
不定积分的性质:
性质1 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外,即
().
性质2 两个函数代数和的积分,等于各函数积分的代数和,即
.
例求下列不定积分:
(1) (2); (3) .
解(1).
(2).
(3) C.
例求下列不定积分:
(1);
(2).
解:(1)
(2)
练习求下列不定积分:
(1); (2).
解(1) =
(2)类似:
例设求.
解由于,
所以,故知是1-x的原函数,得
.
练习:
,为何要求?
?
?
换元积分法:
(凑微分法)
例求.
解被积函数是复合函数,不能直接套用公式
我们可以把原积分作下列变形后计算:
.
直接验证得知,计算方法正确.
例求.
解注意到被积式中含有项,而余下的部分恰有微分关系:.于是类似于例1,可作如下变换和计算:
注: 上述解法的特点是引入新变量,从而把原积分化为关于u的一个简单的积分,再套用基本积分公式求解,现在的问题是,在公式中,将x换成了,对应得到的公式是否还成立?回答是肯定的,我们有下述定理:
定理如果,则:
其中是的任一个可微函数.
证: 由于,,则有:.其中是的可微函数,
由此得:
这个定理非常重要,它表明:在基本积分公式中,,上述例题引用的方法, 可一般化为下列计算程序:
这种先“凑”微分式,再作变量置换的方法,叫第换一元积分法,也称凑微分法.
例求.
解设得,
注:方法较熟悉后,可略去中间的换元步骤,直接凑微分成积分公式的形式.
例求.
解
例 5 求.
解.
注: 凑微分法运用时的难点在于原题并未指明应该把哪一部分凑成,这需要解题经验,如果记熟下列一些微分式,解题中则会给我们以启示.
下面的例子,将继续展示凑微分法的解题技巧.
例 6 求下列积分:
(1) (2) (3)
解(1)=
类似得(2)
(3),
(4).
(5).
(6).