文档介绍：91
第四章不定积分
在第二章中,
将讨论它的相反问题:已知函数 xF )( 的导数(xf ),求 xF )( ,使得 Fx′()= fx ().
这是积分学的基本问题之一,在科学技术和经济管理的许多理论和应用问题中也
经常需要解决这类问题.
§ 不定积分的概念和性质
一、原函数
先看两个例题:
例1 如果作直线运动的物体运动方程由函数= tfs )( 给出,其中t 表示时
间, s 表示物体经过的路程,则函数 tf )( 的导数就表示物体在时刻t 的速度
vft= ′(),,在实际问题中,常常遇到
相反的问题,即已知作直线运动的物体在任一时刻的速度= tvv )( ,求物体的运
动方程= tfs )( .这就是一个与微分学中求导数相反的问题.
例2 如果某产品的产量由函数QQt= ()给出,其中Q 表示产量,t 表示时
间,则函数Qt() 的导数QQt′′= () ,在实际问题
中同样也常遇到其相反的问题,即已知其产品产量的变化率Qt′(),求该产品的
产量函数Qt() .这也是一个与微分学中求导数相反的问题.
在上面两个具体的问题中,尽管实际内容不同,但从抽象的数学关系来看却
是一样的,都归结为:已知函数的导数,求函数的表达式.
一般地我们给出下面的定义:
定义 设 xf )( 是定义在某区间上的已知函数,如果存在一个函数xF )( ,
对于该区间上每一个点 x 都满足
Fx′()= fx () 或= )()( dxxfxdF
则称函数xF )( 是已知函数xf )( 在该区间上的一个原函数.
例3 在区间+∞−∞),( 内,由于()x2 ′= 2x ,所以,x 2 是 2x
理,x2 +1 , x2 − 3 , x2 + c 等都是2x 的原函数.
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二、不定积分
从上面例子可以看到,一个已知函数如果有原函数,就有无穷多个原函数.
一般来说,如果xF )( 是xf )( 的一个原函数,则函数 Fx()+ c(其中c 是任意常数)
也满足[Fx()+= c ]′′ F () x = fx (),所以 xF )( + c 都是xf )( c 是任
意常数,即 c 可以取无穷多个值,所以xf )( 有无穷多个原函数.
另一方面,这无穷多个原函数之间有没有关系? 或者说这无穷多个原函数是
否可以用一个确定的形式来表示呢?
设xG )( 是xf )( 的另外任一原函数,则Gx′()= fx (),而已知′= xfxF ),()( 由
拉格朗日(中值)定理推论2可知: xG )( 与 xF )( 相差一个常数,即
Gx()=+ Fx () c.
由以上讨论,我们可以得到:如果 xF )( 是 xf )( 的一个原函数,则 xf )( 的所
有原函数可以表示为
Fx()+ c (其中c 是任意常数)
定义 函数 xf )( 的所有原函数,称为xf )( 的不定积分,记作
∫ f ()xdx
如果xF )( 是xf )( 的一个原函数,则由定义有
∫)()( += cxFdxxf
其中∫称为积分号, x 称为积分变量,xf )( 称为被积函数,)( dxxf 称为被
积表达式, c 称为积分常数.
由定义可知,求已知函数的不定积分,就归结为求出它的一个原函数,再加
上任意常数 c .
例4 求函数= cos)( xxf 的不定积分
解因为(sin x)′= cos x
所以∫ cosxdx=+ sin x c
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1
例5 求函数 xf )( = 的不定积分
x
1
解因为当x > 0 时(lnx )′=
x
1
所以 ln += cxdx (0x > )
∫ x
11
当 x ﹤0 时−x ﹥0 [ln(−=⋅−=x )]′( 1)
−x x
1
所以 ln()+−= cxdx (0x < )
∫ x
合并以上两式,得到
1
ln += cxdx (0x ≠)
∫ x
,那么积
分法是微分法的逆运算.
关于原函数,是否所有函数都存在原函数?我们给出一个结论:初等函数在
其定义域上必有原函数.
三、不定积分的几何意义
利用导数的几何意义很容易得出不定积分的几何意义.