Ch 6 不定积分.pdf

文档介绍：第二部分单变量积分学
Ch 6 不定积分
计划课时: 12 时
P 85—100
.

Ch 6 不定积分( 12 时)
§ 1 不定积分的概念及运算法则( 2时)
引入: 微分问题的反问题,运算的反运算.
一、不定积分的定义:
:
1
例 1 填空: ( ) ′= ; ( ′= − cos2) x ;
1+ x 2
d d
) ( ) = x 2 ; ( x −= sin) xe ; d( ) = xdx ;
dx dx
⎛ 1 ⎞
) ( ) ′= arctgx . ⎜[xarctgx +− x 2 ′= arctgx.])1ln( ⎟
⎝ 2 ⎠
定义. 注意 xf )( 是′ xf )( 的一个原函数.
原函数问题的基本内容:存在性,个数,求法. 原函数的个数:
Th 若xF )( 是xf )( 在区间I 上的一个原函数, 则对∀c — Const,)( + cxF 都是
xf )( 在区间 I 上的原函数;若xG )( 也是xf )( 在区间 I 上的原函数, 则必有
)()( += cxFxG . ( 证)
可见,若xf )( 有原函数 xF )( ,则 xf )( 的全体原函数所成集合为{)( + cxF │ c ∈R}.
原函数的存在性: 连续函数必有原函数. ( 下章给出证明).
可见, 初等函数在其定义域内有原函数; 若 xf )( 在区间 I 上有原函数, 则 xf )( 在区间
I 上有介值性.
例 2 已知xF )( 为 xf )( = 2x 的一个原函数, F )2( =5 . 求 xF )( .
——原函数族:: 定义, 不定积分的记法, 几何意义.
dx 1
例 3 += carctgx ; 2 3 += cxdxx .
∫ 1+ x 2 ∫ 3
: 以下设xf )( 和xg )( 有原函数.
′
⑴() ∫)( = ),( ∫= )()( dxxfdxxfdxfdxxf . (先积后导, 形式不变).
⑵∫∫′+= ,)()( )()( += cxfxdfcxfdxxf . (先导后积, 多个常数)
⑶α≠ 0 时, ∫= αα∫ dxxfdxxf .)()(
⑷∫=± ∫± ∫ dxxgdxxfdxxgxf .)()())()((
由⑶、⑷可见, 不定积分是线性运算, 即对∀α, β∈ R , 有
∫∫+ βα))()(( = α+ β∫ dxxgdxxfdxxgxf .)()(
( 当αβ== 0 时,上式右端应理解为任意常数. )
1
例 4 )12( 3 ++=− cxxdxxf . 求 f ( 1 ) . (f ( 1 ) =2 ).
∫ 3

二. 不定积分基本公式: 基本积分表. P237—238 公式 1—17.
dx
例 5 .
∫.3 xx
: 参阅[4]P181.
例 6 )( n n−1 " ++++= axaxaxaxP . 求)( dxxP .
0 1 n−1 n ∫
x 4 +1 ⎛ 2 ⎞
例 7 dx ⎜ x 2 1( +−= dx.) ⎟.
∫∫x 2 +1 ⎝ 1+ x 2 ⎠
85
2 dxx
例 8 .
∫ 1+ x 2
x + )1( 2
例 9 dx .
∫+ xx 2 )1(
例 10 ⑴∫ x −− x )1010( 2 dx ; ⑵∫ xx +− 132 dxe .2
2cos x ⎛− sin21 2 x ⎞
例 11 dx ⎜= dx = "⎟.
∫∫2 ⎜ 2 ⎟
sin x ⎝ sin x ⎠
dθ
例 12 .
∫θ sincos 22 θ
Ex P241 1,2,

§ 2 不定积分的计算(换元积分法与分部积分法)(1 0 时)
一. 第一类换元法——凑微法:
由 5 xd = 4 = 4 ′dxxxxxd = 4 xdxx ,2cos2sin10)2(sin2sin52sin2sin52sin
4 4 4
⇒∫∫xdxx = ′dxxx = ∫ 2sin2sin5)2(sin2sin52cos2sin10 xxd
= 2sin xu
4 5 5
===== 5∫+=+= cxcuduu .2sin
引出凑微公式.
Th 若∫+= cxFdxxf ,)()( φ x)( 连续可导, 则
∫φφ′φ+= ctFdtttf