文档介绍：定积分的换元法和分部积分法上一节我们建立了积分学两类基本问题之间的联系——微积分基本公式,利用这个公式计算定积分的关键是求出不定积分,而换元法和分部积分法是求不定积分的两种基本方法,如果能把这两种方法直接应用到定积分的计算,相信定能使得定积分的计算简化,下面我们就来建立定积分的换元积分公式和分部积分公式。定积分的换元积分法定理设函数)(xf在],[ba上连续, )(tx??函数满足: (1).)(' )]([)(??????? dtttf dx xf ba则有例?? 401x dx tx?? dtt t??1 2dtt t????? 201 112 dtt )1 11(2 20???? 20 |)1| ln(2tt???)3 ln2(2?? 0 2 2tx?, 时当????t )(t?在],[??上有连续导数, )(t??(2) ,)(bta???,)(a???;)(b???且应用换元公式时应注意: (1) (2) 求出)( )]([ttf???的一个原函数)(t?后,不必象计算不定积分那样再要把)(t?变换成原变量x 的函数,而只要把新变量t 的上、下限分别代入)(t?. .12 2 40dx x x???.31:? t tdt t t???? 31 222 1??? 31 2)3(2 1dtt3 22 ?解设,12tx??,2 1 2?? tx , tdt dx?;40:? xdx x x??? 4012 2 31 3)33 (2 1t t??解设),0( sinaxtax???.2 0: ?? t tdt a dx cos ?,0:ax? 0 22?? a dx xadttataa???? 20 222 cos sin ?dtta?? 20 22 cos ?20 2)2 sin 2 1(2 ?tt a??4 2a??例2计算 0 22?? a dx xa )0(?adt ta??? 20 22 2 cos 1 ?22xay??x o ya S 例3计算)1( 10 2 32??? dx x解 4 0: ?? t tdt dx 2 sec ?;10:? x)1( 10 2 32??? dx x sec ) tan 1( 40 22 32????? tdt t cos 40??? tdt 40 sin ?t?2 2?, tan tx?设注意(1). 代换)(tx??必须单值且有连续导数; (2). 换元的同时,必须换积分限; (3). 积分后不必还原,只要把新的积分限代入即可. 结论结论证?? aadx xf)(??? 0)( adx xf ???? a aa dx xf dx xf 0)(2)( )(xf为偶函数,则有????? a adx xfdx xf 0 0)()(?? a dx xf 0)( tx?????? 0)()( atdtf??? 0)( a dttf 所以, .)(2)( 0???? a aa dx xf dx xf同理若为奇函数, )(xf例如,?? 22 45 sin xdx x .0??? a dttf 0)(.0)(??? aa ??????????? 0,1-, cos 1 1 ,0,)( 2xx x xe xf x计算.)2( 41??dx xf;41:? x?? 41)2(dx xf??? 20 2dt te t012 tan ?? 12 12 1 tan 4????e 解设,2tx??,dtdx???? 21)(dttf???? 01 cos 1t dt ??? 0122 cos 2 t dt)(2 1 20 2 2????tde t 20 22 1 te ??.21:??t思考题指出求???? 22 21xx dx 的解法中的错误,, sec tx?,4 33 2: ???t, sec tan tdt t dx????? 22 21xx dx tdt ttt tan sec tan sec 1 4 33 2??????dt???? 4 33 ?? sec ??,4 3,3 2?????????t ,0 tan ?t . tan tan 1 2ttx???正确解法是???? 22 21xx dxtx sec ? tdt ttt tan sec tan sec 1 4 33 2?????dt????? 4 33 ???