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初二数学因式分解专项训练
因式分解――提公因式法
(一)、内容提要
多项式因式分解是代数式中的重要内容,它与第一章整式和后一章分式联系极为密切。因式分解是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的,它为今后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础。
因式分解的概念是把一个多项式化成n个整式的积的形式,它是整式乘法运算的逆过程,而提公因式法是因式分解的最基本的也是最常见的方法。它的理论依据就是乘法的分配律。运用这个方法,首先要对欲分解的多项式进行考察,提出字母系数的公因数以及公有字母或公共因式中的最高公因式。
[知识要点]

,并且能够运用提公因式法分解因式
(二)、例题分析
,属于因式分解的有( )
1.(x+1)(x-2)=x2-x-2 -ay-a=a(x-y)-a
=2x2·3y3 -4=(x+2)(x-2)
-6a2+3a=3a(3a2-2a)
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
分析:从左到右,式1是整式乘法;式2右端不是积的形式;式3中左右两边的均是单项式,原来就是乘积形式,我们说的因式分解,指的是将多项式分解成n个整式的乘积形式;式5的右边括号内漏掉了“1”这项;只有式4是正确的。
解:B
-3a2b3+6a3b2c+3a2b分解因式
分析:如果多项式的第一项的系数是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数是正的。此题各项系数的最大公约数是3,相同字母的最低次项是a2b.
解:-3a2b3+6a3b2c+3a2b
=-(3a2b3-6a3b2c-3a2b)
=-3a2b(b2-2abc-1)
评注:当公因式和原多项式中某项相同时提公因式后,该项应为1或-1,而不是零。1作为项的系数通常可以省略,但如果单独成一项时,它在因式分解时不能漏掉,为防止错误,可利用因式分解是乘法运算的逆过程的原理来检查。例如,观察-3a2b(b2-2abc-1)是否等于-3a2b3+6a3b2c+3a2b,从而检查分解是否正确以及丢项漏项。
(2x-y)-6ab2(y-2x)
分析:因为y-2x=-(2x-y), 就是说y-2x 与2x-y实质上是相同因式,因此本题的公因式是3ab(2x-y).
解:3a2b(2x-y)-6ab2(y-2x)
=3a2b(2x-y)+6ab2(2x-y)
=3ab(2x-y)(a+2b)
评注:本题的公因式是多项式,此类型题只要把(2x-y)看作一个整体即可。另外,注意因式分解的结果,单项式写在多项式的前面。
:2a(a-b)3-a2(a-b)2+ab(b-a)2
分析:要找出这三个项的公因式。因为(b-a)2=[-(a-b)]2=(a-b)2,因此(a-b)2就是公因式,分解结果有相同的因式要写成幂的形式。
解:2a(a-b)3-a2(a-b)2+ab(b-a)2
=2a(a-b)3-a2(a-b)2+ab(a-b)2
=a(a-b)2[2(a-b)-a+b]
=a(a-b)2(a-b)
=a(a-b)3.
评注:多项式中的公因式,有些比较简单,有些则比较复杂,需要进行些运算才能发现公因式,但不能生搬硬套。记住下面结论是有益的。
当n为奇数时,(x-y)n=-(y-x)n;
当n为偶数时,(x-y)n=(y-x)n.
(x-3y)2-2(3y-x)3的值。
分析:先把7y(x-3y)2-2(3y-x)3进行因式分解,再将2x+y=6和x-3y=1整体代入。
解:7y(x-3y)2-2(3y-x)3
=7y(x-3y)2+2(x-3y)3
=(x-3y)2[7y+2(x-3y)]
=(x-3y)2(2x+y)
∵∴原式=12×6=6
评注:先化简再求值以及整体代入的思想在求值问题中经常运用。
:32000-4×31999+10×31998能被7整除。
分析:先把32000-4×31999+10×31998因式分解
证明:∵32000-4×31999+10×31998
=31998×(32-4×3+10)
=7×31998
∴32000-4×31999+10×31998能被7整除。
(三)、练习
一、选择题:
(1)在下列四个式子中,从等号左边到右边的变形是因式分解的是( )