文档介绍：线段的垂直平分线
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观察
如图，人字形屋顶的框架中，点A与点A′关于线段CD所在的直线l 对称，问线段CD所在的直线l 与线段AA′有什么关系？
我发现
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我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到下图.
已知点A与点A′关于直线l 对称，如果沿直线l折叠，则点A与点A′重合，AD=A′D，∠1=∠2= 90°，即直线l 既平分线段AA′，又垂直线段AA′.
●
●
l
A
A′
D
2
1
(A)
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我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.
由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
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如图，在线段AB的垂直平分线l 上任取一点P，连接PA，PB，线段PA，PB之间有什么关系？
探究
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探究
作关于直线l 的轴反射（即沿直线l 对折），由于l 是线段AB的垂直平分线，因此点A与点B重合. 从而线段PA与线段PB重合，于是PA=PB.
(A)
(B)
B
A
P
l
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结论
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
由此得出线段垂直平分线的性质定理：
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动脑筋
我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果已知一点P到线段AB两端的距离PA与PB相等，那么点P在线段AB的垂直平分线上吗？
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（1）当点P在线段AB上时，
因为PA=PB，
所以点P为线段AB的中点，
显然此时点P在线段AB的垂直平分线上.
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（2）当点P在线段AB外时，如下图所示.
因为PA=PB，
所以△PAB是等腰三角形.
过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，
从而底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.
即 PC⊥AB，且AC=BC.
因此直线PC是线段AB的垂直平分线，
此时点P也在线段AB的垂直平分线上.
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