文档介绍：张 量 分 析
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第一章 线性空间
若记实数集合为F，F中的元素记为a、b、c、…。
则加法法则将F中的任意两个元素
+
显然具有加法法则和乘法则所确定的实数集中元
素间确定关系使得实数集构成一个空间。并记为：
×
乘法法则将F中的任意两个元素
称为具有加法和乘法法则的实数集空间。
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实数空间关于加法和乘法法则有如下性质：
（1）
（2）
（3）
存在唯一的元素,对每一个元素使得：
（5）
（6）
（7）
F中存在称为关于乘法的单位元素1，使得：
F中存在称为关于加法的单位元素0，使得：
（4）
（8）
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矢量集合的运算
对实数域 F，定义n元有序组：
且当：
必有：
由n元有序组构成的集合：
称为n维仿射空间。
中的每一个元素称为点。
记：
且分别称为放射空间的原点、位置矢量和负矢量。
对于n维仿射空间，所有的位置矢量构成一个集合：
定义实数域上位置矢量的加法运算和数乘运算：
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并称定义了实数域上的加法运算和数乘运算的集合为实数
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
V0中存在称为关于加法的单位元素o，使得：
V0中每一个元素x都存在唯一的(-x )，使得：
F存在称为关于数乘的单位元素1 ，使得：
域上的矢量空间。且仍记为V0 。
数域上的矢量空间V0 具有如下性质：
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证：
（1）∵
∴
（2）∵
（4）∵
（5）∵
（6）∵
∴
∴
∴
∴
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（8）∵
∴
（7）∵
定义与 x 和 y 相关，且线性依赖参数 0≤t≤ 的矢量 z ：
证毕。
定义连接 x 、y 两点的直线段是满足：
仿射空间点的集合。
x、y两点的直线段给出空间x点指向y点的矢量uxy。 uxy是
空间由x点指向y点的有向直线段。对于任意空间的点x，
所有以x点为起点的矢量按：
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定义加法和数乘运算。显然所有以x为起点的矢量当
取 为加法单位元素时，构成矢量空间 ，且记为Vx
。 Vx空间中的矢量称为约束矢量。
设
定义若存在非o的s位置矢量满足：
则称
与
平行。切记为
∥
。
例1：若o（原点）是二维Eucild空间的给定点。过o
点的水平和竖直直线为实数数轴。 当：
时，试证明：
∥
并将结果画在图上。
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解：
当t=b时：位置矢量标
定b点。即：
由此确定b=1 。
当t=a时：位置矢量标
定a点。即：
由此确定a= 。
图中画出了计算结果 。
u ab
u xy
S
(b)
(a)
x 1
x 2
2
4
6
2
3
1
u ab
u xy
x 1
x 2
3
2
1
6
5
4
3
2
1
图1－1
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设 是实数域上的矢量空间，x是 中任一给定的位置矢量。 是所有起点在x点的约束矢量空间。对 中的所有矢量，按（-7）式的平行性，在 中有对应的矢量。若矢量
自由矢量
确定。而 矢量可由有向线段：
确定。容易验证
满足（-7）式（取 ）。
因此 ：
∥
则起点在x的矢量
可由有向线段：
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