文档介绍：第三章 张量代数
在第一章线性空间中对三维矢量空间V由张映射
m阶张量空间
定义了
。若{o;i1,i2,i3}是V中标准正交坐
标系。则的基底为
张量都可以表示为：
。Pm中的任意
在后文的书写中，矢量空间的张量积符号在不致混淆时将
略去不写。如：
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张量代数运算
在§。且对任意同
阶张量
（-10）定义零张量和加法逆元素。则同阶张量的加减
，（-7）、（-8）式给出了张量
（同阶）的加法运算和张量的数乘运算。若按（-9）、
运算按：
（-1）
定义。而数乘运算按：
（-2）
定义。
按（-1）和（-2）式容易得出：
（-3）
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张量间的运算除加法、减法运算和数乘运算外，还可以
定义乘法运算。但应当特别注意的是张量间的乘法运算
有多种按不同法则定义的乘法运算。这一点在矢量乘法
运算中表现为矢量与矢量的点乘和叉乘（矢量本身就是
一阶张量）。因此谈到张量（不一定是同阶张量）间的
乘法运算必须指明是什么法则定义的乘法运算。
张量积：设张量
；则 A和 B的张量积按：
（-4）
定义。由定义可以看出AB和BA都是m + n阶张量。且一般
AB≠BA（两张量的张量积一般不满足交换律）。对任一
组给定的i1,…,im ; j1,…,jn值，
都是确定的实数。
记
。则：
（-4a）
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张量间的张量积运算有如下性质：
1．
（-5）
2．
（-5a）
（证明由读者自行完成）
r点乘（积）：设
A、B张量的r点乘：
。则定义
（-6）
当m = n = r时，
称为A全点乘B。且记为：
（-7）
由定义（-6）式可知：
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（-8）
但必须注意一般情况下：
（-9）
由（-4a）和（-6）式给出的是任意阶张量间的张量
积和 r点乘定义。而在处理实际物理和数学问题时，更常
见的是一阶和二阶张量的张量积和r点乘的情况。
设u、v是一阶张量（矢量）。A、B、C是二阶张量。则：
一阶张量与一阶张量的张量积：
（-10a）
二阶张量与一阶张量的张量积：
（-10b）
一阶张量与二阶张量的张量积：
（-10c）
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二阶张量与二阶张量的张量积：
（-10d）
一阶张量（全）点乘：
（-10e）
一阶张量与二阶张量的（一）点乘：
（-10f）
二阶张量与一阶张量的（一）点乘：
（-10g）
二阶张量与二阶张量的（一）点乘：
（-10h）
二阶张量与二阶张量的（双）点乘：
（-10i）
四阶张量与二阶张量的（双）点乘：
（-10j）
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二阶张量与四阶张量的（双）点乘：
（-10k）
由（-10e）、（-10f）、（-10g）、（-10j）、
（-10k）定义单位矢量（一阶单位张量）、二阶单位张
量和四阶单位张量。即满足：
（-11）
的
分别称为一阶单位张量、二阶单位张量和四
阶单位张量。
上式定义的一阶、二阶和四阶单位张量具有性质：
1．
2．
（-12）
且记
为
。即
。并称
为单位二阶张量。
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3．
（-13）
且记
为
。即
。并称
为单位二阶
张量。
证：
1．
对任意
∴
2．
设存在另一二阶张量
∵
∴
3．
四阶单位张量唯一性证明留作练习。
，且满足
。则：
（唯一性）
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例1：
如图3－1所示刚体Ω以角速度 ω(ω是对刚体整体运动的
述量。 ω与r无关。即对刚体上的任意点而言刚体的角速
度都是ω) 。物体点 r处的密度为ρ (r) ；速度矢量为 u (r)
。则处微分体积 dV所包含质量 ρ (r) dV对 o点动量矩为：
Ω
r
o
i 2
i 3
i 1
图3－1
试证明物体 Ω对o点的动量矩为：
式中
称为物体 Ω
对o点的二阶惯性矩张量（注：J
不是四阶单位张量。但 J表达式中的
I是二阶单位张量）。
证：
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图3－2
r
o
x 2
x 3
x 1
x 3
t 3
t 2
t 1
t
n
x 2
x 1
b
a
c
h
o
(b )
(a )
例2：
如图3－2所示受力物体。
若物体在确定的