文档介绍：张 量 分 析
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第一章 线性空间
若记实数集合为F，F中的元素记为a、b、c、…。
则加法法则将F中的任意两个元素
+
显然具有加法法则和乘法则所确定的实数集中元
素间确定关系使得实数集构成一个空间。并记为：
可知 和 不等价（因为 ）。
：
当 时：
当 时：
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显然没有一组 ， 的解满足：
：
与
(取 )
中第一组关于 的方程。即不存 在满足（-7）式，因此 和 不平行。
：
与
(取 )
当 时：
当 时：
由此可得 ， 。显然 等 价。
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：
与
(取
当 时：
当 时：
由此可得 ， 。显然 等 价。
由平行性及（-1）式确定了自由矢量 集合在集合 中同样可以引入关于自由矢量的加法和数乘的运算，使得自由矢量集合 具有线性的空间结构。为此定义自由矢量集的元素（自由矢量）间的加法运算和实数域 上的数乘运算。设 ， ；与 、 等价的 中的矢量为
)
中的加法和数乘分别定义为：
、
；
。则
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自由矢量的集合在上述加法
和数乘运算下构成线性空。
且将带有上述加法和数乘运
算的自由矢量空间记为 。
x
图1－3
b = b 1 + b 2
y
b 2
b 1
a 2
a 1
x 2
x 1
6
5
4
3
2
1
1
2
3
a = a 1 + a 2
o
例3：确定图示自由矢量a、b的和a + b 、5a、2b。
解：
x 1
y 1
y
x
2 y = 2 b
5 x = 5 a
x + y = a + b
图1－4
结果如图1-4所示。
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平行四边形法则：
o
b
a
a
b
c
a
b
o
图1－5
(a)
(b)
设自由矢量a、b∈V，其起点和终点分
别由a1、 a2 ；b1、 b2 ∈V0矢量标定。a
、b矢量对应的有向直线段分别为：
将b矢量的起点平行移动至a矢量的终点。设b矢量平行移动后的终点由矢量b3 ∈V0确定，则：
（a）
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起点在a1 ，终点b3在的有向直线段确定自由矢量c平
行移动至起点在o点。则与c等价的起点在o点的矢量
z可由有向直线段 确定：
该式表明自由矢量的加法可在空间的任意点进行。图1-5给出了矢量a、b加法的几何示意图。（a）图给出了a、b∈V ；（b）图中将b平行移动使得b起点与a的终点相接。则按（b）式有：
由于z与c等价，由（a）式得：
（b）
o
b
a
a
b
c
a
b
o
图1－5
(a)
(b)
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c∈V为起点在 a 矢量的起点，终点在平行移动后（ 起点
与 a 的终点相接）的 b 矢量终点确定的矢量。图 ( b ) 中
该式也称为自由矢量加法的平行四边形法则。
中还给出了与 a （或 b ）矢量等价的
矢量（ 或
）。
容易验证，当 a （或 b ）与
（或
）等价，则 b 或(
a ) 与
。 a 、b 、
（或
）等价。即 a ∥
， b ∥
均成平行四边形，且：
、
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试由平行四边形法则求图1-6
（a）所给矢量 a 和 b 的和。
D
C
B
A
b
a
c
a
b
a
(b)
(a)
图1－6
例4：
将 b 矢量的终点平移至 a矢量的起
点（见（ b ）图）；或将 b矢量的
终点平移至 a矢量的终点。作平行
四边形 ABCD。则平行四边形的对
角线对应的矢量c∈V为就是a 、
b矢量的和，即：
解：
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设 r1，…，rn ； ，… ， 。若存在
不全为零的 ，…， ，使得：
自由矢量空间的基底、坐标
（-1）
则 r1，…，rn
称为线性相关的 n 个自由矢量。若只有当 = …= = 0时（-1）式满足，则称r1，…，rn是线性无关的。
例5：
试确定自由矢量
；
；
的相关性。
解：
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这是关于 ， ， 的齐次线性代数方程，其系数行列式的值为：
则 ：
若：
因此方程无非零解。即只有当
时：
线性无关。
n+1