文档介绍：一、对弧长的曲线积分的概念与性质
二、对弧长的曲线积分的计算
§ 对弧长的曲线积分(第一类)
把曲线弧L分成n个小段s1s2sn(si也表示弧长)
一、对弧长的曲线积分的概念与性质
曲线形构件的质量
设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y)
任取(ii)si
得第i小段质量的近似值(i i)si
令max{s1s2sn}0则整个曲线形构件的质量为
整个曲线形构件的质量近似为
一、对弧长的曲线积分的概念与性质
设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y)
曲线形构件的质量
把曲线弧L分成n个小段s1s2sn(si也表示弧长)
任取(ii)si
得第i小段质量的近似值(i i)si
将L任意分成n个小弧段
s1s2sn(si也表示第i个小弧段的长度)
在每个小弧段si上任取一点(ii)作和
对弧长的曲线积分
设L为xOy面内的一条光滑曲线弧函数f(x y)在L上有界
如果当max{s1s2sn}0时这和的极限总存在则称此极限为函数f(x y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分记作
其中f(x y)叫做被积函数 L叫做积分弧段
>>>光滑曲线
对弧长的曲线积分
说明
当函数f(x y)在光滑曲线弧L上连续时函数f(x y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分是存在的以后我们总假定f(x y)在L上是连续的
对弧长的曲线积分也称为第一类曲线积分
曲线形构件的质量就是曲线积分的值
类似地可以定义函数f(x y z)在空间曲线弧上对弧长的曲线积分
对弧长的曲线积分
如果L(或)是分段光滑的则规定函数在L(或)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和
例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2则规定
函数f(x y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作
说明
对弧长的曲线积分的性质
性质1 设c1、c2为常数则
性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2则
性质3 设在L上f(x y)g(x y)则
特别地有
机动目录上页下页返回结束
思考:
定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?
否!
对弧长的曲线积分要求 ds  0 ,
但定积分中
dx 可能为负.
二、对弧长的曲线积分的计算(描述代人法)(描成参数方程)
定理
设f(x y)在曲线弧L上连续 L的参数方程为
x(t) y(t) (t)
其中(t)、(t)在[]上具有一阶连续导数且2(t)2(t)0
应注意的问题定积分的下限一定要小于上限
设曲线 L的参数方程为x(t) y(t) (t)则
讨论
提示
(1)L的参数方程为xx y(x)(axb)