文档介绍：试述导数在解决实际问题中的应用
发布者:汪玉才发布时间: 2014-3-21 10:09:32
在现实生活中,我们经常会遇到解决“利润最大”、“用料最省”、“效率最高”等问题,这些我们统称为“最优化问题”,而这些问题的解决,在数学上大多需要建立数学模型------解决数学问题(求最值)------还原到实际问题中,其中解决数学问题时的求最大、最小值得问题常常利用导数来解决。这就是导数在解决实际问题中的应用。
解决这类问题的一般步骤:
1, 分析实际问题中各量之间的关系,建立数学模型。写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x)。
2, 求函数y=f(x)的导数y=f'(x),解方程,求f'(x)=0在定义域内的根,确定函数的极值点。
3, 比较函数在区间端点和极值点的函数值,获得所求的最大(小)值。
4, 还原到原来实际问题中作答。
例1, 用总长的钢条制作一个长方体容器的框架,如果容器底面的长比宽多,那么长和宽分别为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.
易错点:读不懂题,不能化未知为已知;即使能够建立函数关系也不关注实际背景.
错因分析:函数观念弱化,无法建立函数关系,建模能力弱.
解决策略:解决实际优化问题的关键在于建立数学模型(目标函数),通过把题目中的主要关系(等量和不等量关系)形式化,把实际问题抽象成数学问题,再选择适当的方法求解.
简解:设容器底面长方形宽为,则长为,
依题意,容器的高为.
显然,即的取值范围是.
记容器的容积为,
则.
对此函数求导得, .
令,解得; 令,解得.
所以,当时, ,这时容器的长为.
答:容器底面的长为 m、宽为 m时,容器的容积最大,最大容积为.
例2,某轮船公司争取一个相距1 000公里的甲、乙两地的客运航线权,已知轮船平均载客人数为400人,轮船每小时使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比,轮船的最大速度为
25公里/,它的燃