文档介绍：导数在解决实际问题中的应用
导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主要有以下几个方面:
1、与几何有关的最值问题;
2、与物理学有关的最值问题;
3、与利润及其成本有关的最值问题;
4、效率最值问题。
解决实际问题的方法:首先是需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适当的函数关系,并确定函数的定义域,通过创造在闭区间内求函数取值的情境,即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得以解决,在这个过程中,导数是一个有力的工具.
利用导数解决优化问题的基本思路:
建立数学模型
解决数学模型
作答
用函数表示的数学问题
优化问题
用导数解决数学问题
优化问题的答案
例1在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时,箱底的容积最大?最大容积是多少?
解法一:设箱底边长为xcm,则箱高cm,得箱子容积
.
令=0,
解得 x=0(舍去),x=40, 并求得 V(40)=16 000
由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子容积很小,因此,16 000是最大值
答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16 000cm3
解法二:设箱高为xcm,则箱底长为(60-2x)cm,则得箱子容积
.(后面同解法一,略)
由题意可知,当x过小或过大时箱子容积很小,,可导函数
、在各自的定义域中都只有一个极值点,从图象角度理解即只有一个波峰,是单峰的,因而这个极值点就是最值点,不必考虑端点的函数值
例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底与半径应怎样选取,才能使所用的材料最省?
解:设圆柱的高为h,底半径为R,则表面积S=2πRh+2πR2
由V=πR2h,得,则S(R)= 2πR+ 2πR2=+2πR2
令 +4πR=0
解得,R=,
从而h====2
即h=2R, 因