定积分的简单应用——求体积.pdf

文档介绍：（北师大版）选修 2-2：定积分 编写教师：焦旭利
定积分的简单应用(二)
复****br/>（1） 求曲边梯形面积的方法是什么？
（2） 定积分的几何意义是什么？
（3） 微积分基本定理是什么？
引入：
我们前面学****了定积分的简单应用——求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。
下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。
1. 简单几何体的体积计算
问题：设由连续曲线y  f (x) 和直线x  a ，x  b 及x 轴围成的平面图形（如图甲）绕x 轴
旋转一周所得旋转体的体积为V ，如何求V ？
分析：
在区间 内插入 个分点，使 ，把曲线
[a,b] n 1 a  x0  x1  x2   xn1  xn  b
y  f (x) （a  x  b ）分割成n 个垂直于x 轴的“小长条”，如图甲所示。设第i 个“小长条”
的宽是 ， 。这个“小长条”绕 轴旋转一周就得到一个厚度是
xi  xi  xi1 i 1,2,,n x xi
的小圆片，如图乙所示。当xi 很小时，第i 个小圆片近似于底面半径为yi  f (xi ) 的小圆柱。
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因此，第i 个小圆台的体积Vi 近似为Vi   f (xi )xi
该几何体的体积V 等于所有小圆柱的体积和：
2 2 2
V  [ f (x1)x1  f (x2 )x2  f (xn )xn ]
这个问题就是积分问题，则有：
b b
V   f 2 (x)dx   f 2 (x)dx
a a
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（北师大版）选修 2-2：定积分 编写教师：焦旭利
归纳：
设旋转体是由连续曲线y  f (x) 和直线x  a ，x  b 及x 轴围成的