文档介绍：第九章线性代数及其应用
在科学研究和实际生产中，碰到的许多问题都可以直接或近似地表示成一些变量之间的线性关系，因此，线性关系的研究就显得是非常重要了. 、性质和运算.
§ 行列式的概念与计算
一、二阶、三阶行列式
用消元法解二元线性方程组（）
当时，得，
为了便于记忆，我们引进二阶行列式的概念.
1．二阶行列式的定义
定义1 用个数组成的记号，表示数值，称为二阶行列式，称为行列式的元素，横排称行，竖排称列.
利用二阶行列式的概念，当二元线性方程组（）的系数组成的行列式时，它的解可以用行列式表示为

其中和是以分别替换系数行列式中第一列、第二列的元素所得到的两个二阶行列式.
例1 用行列式解线性方程组 .
解因为，，.
所以 .
类似地，用个数组成的记号，表示数值
称为三阶行列式，即
.
它是由3行3列共9个元素构成，，从左上角到右下角的对角线称为主对角线，，，虚线上三个元素的乘积取负号.
取+号
取-号

例2 计算三阶行列式.
解　原式＝
　　　　　.
例3　解不等式　.
解　因为，原不等式化为.
故不等式的解集为.
1. 2阶行列式
1．阶行列式的定义
由个数组成的一个算式
，
称为阶行列式，其中称为的第行第列的元素.
当时，.
定义３　在阶行列式中去掉元素所在的第行和第列后，余下的阶行列式称为元素的余子式，记为.
将叫做元素的代数余子式，记为，即有.
设阶行列式已定义，则阶行列式
. （）
例如，当时，
　　　 .
例4 写出四阶行列式

的元素的余子式和代数余子式.
解，.

形如下列形式的行列式分别称为阶对角行列式和阶下三角行列式，由（）式可知，它们的值都是主对角线上元素的乘积.
，
.
２. 行列式的性质
根据阶行列式的定义直接计算行列式，当行列式的阶数较大时，一般是很麻烦的，为了简化阶行列式的计算，我们有必要讨论阶行列式的性质.
如果把阶行列式中的行与列按顺序互换，得到一个新的行列式
，
，也是的转置行列式.
性质1 .
例如，二阶行列式　　　，
.
显然，.对于阶行列式，可以用数学归纳法加以证明，这里略去.
，行列式中“行”与“列”的地位是相同的，所以凡是对行成立的性质，对列也同样成立.
由性质和阶下三角行列式的结论，可以得到阶上三角行列式的值等于它的主对角线上元素的乘积，即
.
性质2 阶行列式等于它的任意一行（或列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和，即
，
或　　　. （）
例5 设三阶行列式，按第二行展开，并求其值.
解因为，
,
,
所以
.
性质3 互换行列式的其中两行（或列）位置，行列式值改变符号.
例如，二阶行列式
，
交换两行后得到的行列式
　　　.
推论如果行列式其中有两行（或列）完全相同，那么行列式的值为零.
事实上．交换相同的两行，由性质2得，，于是.
性质4 行列式某一行（或列）的公因子可以提到行列式记号的外面，即
.
推论1　如果行列式中有一行（或列）的元素全为零，那么此行列式的值为零.　
推论2　如果行列式其中有两行（或列）元素对应成比例，那么行列式等于零.
推论3　行列式中任意一行（或列）的元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.
例如，对于行列式，
有,
性质5 如果行列式的某一行（或列）元素可以写成两数之和，那么可以把行列式表示成两个行列式的和，即
.
　
例如，二阶行列式.
性质6 把行列式某一行（或列）的元素同乘以数k，加到另一行（或列）对应的元素上去，行列式的值不变，即
证　设原行列式为，变形后得到的行