文档介绍：§4 协方差及相关系数
第四章随机变量的数字特征
协方差的定义
协方差的性质
相关系数的定义
相关系数的性质
§4 协方差
第四章随机变量的数字特征
一、协方差
称 Cov( X, Y ) = E( X – EX )( Y-EY )
= E XY –EX EY
为随机变量 X,Y 的协方差.
Cov( X, X )=DX
称为随机变量 X,Y 的相关系数。
是一个无量纲的量;
1)协方差的定义
2)相关系数的定义
§4 协方差
第四章随机变量的数字特征
证明:
E XY = EX EY
所以
Cov( X,Y ) = 0.
由数学期望的性质:
定理:若X,Y 独立,则 X , Y 不相关。
(反之,不然)
称 X,Y 不相关,
此时 Cov( X,Y ) = 0 .
若X,Y 独立,
注意:若 E( X – EX )(Y - EY )
则X,Y一定相关,且 X,Y 一定不独立。
即 EXY-EXEY
二、协方差的性质
第四章随机变量的数字特征
§4 协方差
1) Cov( X,Y )=Cov( Y, X )
2) Cov(aX,bY)=abCov(X,Y);
3) Cov(aX+bY , cZ)=acCov(X , Z)+bcCov(Y, Z);
5) X,Y不相关
COV( X, Y ) = E( X – EX )( Y-EY )
三、相关系数的性质
证明:
令:
第四章随机变量的数字特征
§4 协方差
求a,b 使 e 达到最小。
令:
第四章随机变量的数字特征
§4 协方差
得:
,
)
,
(
DX
Y
X
Cov
=
第四章随机变量的数字特征
第四章随机变量的数字特征
即
由上式得:
§4 协方差
现在证明:
由上面知此时
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§4 协方差
从而
所以
第四章随机变量的数字特征
§4 协方差
反之,若存在使,
这时
故
则
故