文档介绍：§ 特征函数
§ 大数定律
§ 随机变量序列的两种收敛性
§ 中心极限定理
第四章大数定律与中心极限定理
§ 特征函数
特征函数是处理概率论问题的有力工具,
其作用在于:
可将卷积运算化成乘法运算;
可将求各阶矩的积分运算化成微分运算;
可将求随机变量序列的极限分布化成一般的函数极限问题;
……….
特征函数的定义
设 X 是一随机变量,称
(t) = E( eitX )
为 X 的特征函数. (必定存在)
注意:
是虚数单位.
注意点(1)
(1) 当X为离散随机变量时,
(2) 当X为连续随机变量时,
这是 p(x) 的傅里叶变换
特征函数的计算中用到复变函数,为此注意:
注意点(2)
(1) 欧拉公式:
(2) 复数的共轭:
(3) 复数的模:
特征函数的性质
|(t)| (0)=1
若 X 与 Y 独立,则
特征函数的定理
一致连续性.
唯一性.
非负定性.
逆转公式.
连续场合,
§ 大数定律
讨论“概率是频率的稳定值”的确切含义;
给出几种大数定律:
伯努利大数定律、切比雪夫大数定律、
马尔可夫大数定律、辛钦大数定律.
伯努利大数定律
(伯努利大数定律)
设n 是n重伯努利试验中事件A出现的次数,每次试验中 P(A) = p, 则对任意的> 0,有
常用的几个大数定律
大数定律一般形式:
若随机变量序列{Xn}满足:
则称{Xn} 服从大数定律.