文档介绍：第五章
大数定律与中心极限定理
大数定律
中心极限定理
第一节大数定律
一、问题的引入
二、基本定理
三、典型例题
四、小结
第一章引入概率概念时,曾经指出,事件发
生的频率在一、二次或少数次试验中具有随机性
的,但随着试验次数n的增大,频率将会逐渐稳
定且趋近于概率。特别,当n很大时,频率与概
率会非常“接近”的。这个非常“接近”是什么意思?
这与高等数学中的极限概念有否联系?本章将从
理论上讨论这一问题。
一、问题的引入
定理1 设随机变量的数学期望EX=,方差DX= 2,则对任意的正数,不等式
(1)
成立。这个不等式称为契贝雪夫(Cheby shev)不等式。
证我们仅就连续型随机变量情形加以证明。
设X的概率密度为 f(x),于是
式(1)表明当DX很小时,概率P{|X-EX|≥} 更小。
这就是说在上述条件下,随机变量X落入EX的邻域
之外的可能性很小,也即落入EX的邻域内可能性
很大。由此说明X的取值比较集中,也即离散程度较
小,这正是方差的意义所在。
契贝雪夫不等式在理论研究和实际应用中都有很重要的价值。
(1)
例1 已知正常男性成人血液中,每一毫升血液中白细胞的平均数是7300,均方差是700。试估计每毫升血液中白细胞数在5200~9400之间的概率。
解设每一毫升血液中白细胞数为X ,则由上式有
契贝雪夫不等式也可以写成如下等价形式
定理2 (伯努利(Bernoulli)大数定律)设是n次独立重复试验中事件A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率,则对任意正数>0,有
或
证令
则X1,X2,…,Xn是n个相互独立的随机变量,且
易知
于是,
由契贝雪夫不等式得
又由X1,X2,…,Xn的独立性可知
从而有
上述伯努利大数定律从理论上给出了频率“接近”概率这种“现象”的更加确切的含意,它反映了大数次重复试验下随机现象所呈现的统计规律性。
设Y1,Y2,…,Yn,…是一个随机变量序列,a是一个常数,若对任意的正数,有
则称随机变量序列{Yn}依概率收敛于a,记作
定理2′是n次独立重复试验中事件A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率,则