文档介绍：第五章
大数定律与中心极限定理
§1 大数定律
§2 中心极限定理
§1 大数定律
§2 中心极限定理
第五章
大数定律与中心极限定理
本章是关于随机变量序列的极限理论。
目的是从理论上对第一章中提出的“频率的
稳定性”给出严格的数学证明。
大数定律:对于随机变量序列
描述其平均值
在什么条件下以什么形
式呈现出稳定性。
大数定律
第五章
第一节
一、切比雪夫Chebyshev不等式
二、几个常见的大数定律
定义1
依概率收敛于a ,记为
设随机变量序列
有:
则称
,如果存
在常数 a ,使得对于任意
或
不等式
成立,
则称此式为切比雪夫不等式。
存在,则对任意
证明设 X 为连续性(离散型类似),其密度为
设随机变量X 的数学期望
命题(切比雪夫Chebyshev不等式)
则
注:Chebyshev不等式对随机变量在以
的一个ε邻域外取值的概率给出了一个上界
为中心
可见D(X) 越小,事件
的概率越接近1。
X 的值密集在其数学期望附近的概率越大。
例如:对未知分布X,取
例1 一电网有1万盏路灯,
.
求同时开的灯数在6800至7200之间的概率至少为多少?
解设X 为同时开的灯数。
由二项分布
用切比雪夫不等式
已知正常男性成人血液中,每一毫升白细胞数
解设每毫升白细胞数为X
依题意,EX =7300,DX =7002
所求为
由切比雪夫不等式
估计每毫升白细胞数在 5200~9400 之间的概率.
平均是7300,均方差是700, 利用切比雪夫不等式
例2
即每毫升白细胞数在5200-9400之间的概率不小于8/9。