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对勾函数反比例函数与双曲线方程
福建尤溪文公高级中学郑明淮
k
在初中数学里函数 y (k 0)叫反比例函数，它的图像是双曲线，两坐标轴是双曲
x
线的渐近线。而高中数学平面解析几何中的双曲线是以方程形式呈现的，其标准方程为
2
x
~~2
a
b2
1，两惭近线方程为 y
—X。我们在研究对勾函数 y ax — (ab 0)的图
a x
像时注意到它同样有两条渐近线，分别是直线x 0和y ax。那么它的图像到底是不是双曲线呢初高中的数学教材并未对此作出说明，不能不说是一种缺憾。本文就这一问题寻求理
论支撑以并在实践操作层面作一探讨。
一、反比例函数和对勾函数的图像都是双曲线
2 2
1、平面解析几何知识告诉我们：二元二次方程 Ax Bxy Cy Dx Ey F 0所
2A B D
表示的曲线由两判别式 B 2C E和 B2 4AC与0的大小关系共同决定。当
C E 2F
0且 0时，它表示双曲线。
对于反比例函数
k
y (k 0)，可以化为方程 xy k
x
0 (k
0)，容易计算得：
2k 0 且 1
0，因此它的图像是双曲线。对于函数y
ax
K
-(ab 0)可以化为
x
方程 ax2 xy b
0 (ab 0)，计算得， 2— 0且
1
0，因此它的图像是
双曲线。
2、作反比例函数和对勾函数图像的两条惭近线所形成角的平分线得两条过原点且互相
垂直的直线li和12，并设其倾斜角分别为 1和2且1 2。以li和I2作为x轴和y轴重新
建立直角坐标系，我们会发现，它们与高中所学标准方程双曲线图形是一致的。也就是说把
这两个函数图像及相应的惭近线绕原点沿顺时针方向旋转1角度，便可得到标准方程形式的双曲线。如图:
b
3、函数 y ax - (ab 0)图
x
像虽然不像对勾，但仍是双曲线。如图：
二、正比例函数图像双曲线顶点
坐标、焦点坐标和离心率
利用双曲线标准方程中的不变量
a, b, c, e ,我们可以把正比例函数图
象重新建立坐标系得到标准方程，从而
求得不变量的值，再用于求原坐标系下
的焦点坐标和离心率。
k
y -
x
(k
0)为例。两惭近线
夹角平分线为
x，其中与双曲线有交点的是 y x，求出交点坐标为:
A(.k, /k)
B ( k, . k)，设双
2
x
曲线的标准方程为=
a
2 2
a |OA| 2k，
a .2k，又在以直线y
x为坐标轴的新坐标系中，双曲线的惭近线
b
y轴在新坐标系下的倾斜角为 45，斜率为-
a
tan 45 1，所以 b
.2k，所以该双
2 2
曲线的标准方程为：x J
2k 2k
1。
利用标准方程进一步可以求出半焦距
c ，因为焦点在实轴
x上，设焦点坐标
2 2 2
为 F(m, m)，则由 c |OF | 2m
4k解得：m . 2^。所以
k
-(k 0)的交点
x
坐标为 Fi( 「2k)和 F2( /